Uveďme úvodem stručný přehled nástrojů, které máme díky současným dostupným softwarovým systémům k dispozici a zejména přehled těch oblastí, v nichž předpokládáme jejich přínos při využití ve výuce.
Každý učitel, který někdy vyučoval jakýkoliv předmět spjatý s prostorovou geometrií, velmi dobře ví, že je velice obtížné naučit protorovému myšlení studenty, kteří nemají dostatečně rozvinutou prostorovou představivost a na druhou stranu přiměřeně zaměstnat studenty nadané, pro něž jsou běžné školní úlohy příliš snadné. Potřeba individuálního přístupu je zde větší než u jiných témat, kde snáze odhadneme příčinu chyby, určíme místo, kde žák v úvaze chyboval. A tak učitelé tvoří další a další pomocné materiály, další pomocná cvičení a testy a tráví spoustu času jejich opravami a hledáním chyb. V tomto úsilí jim mohou nástroje 3D dynamické geometrie výrazně ušetřit práci. Přínos těchto systémů shledáváme v těchto aspektech:
Systémy dynamické geometrie jsou důležitým nástrojem zejména pro konstruktivistické didaktické přístupy. Vlastní manipulace se scénou je pro žáky cennější než pasivní sledování ukázek předváděných učitelem. Je však nezbytné pamatovat na to, že modely a virtuální scény, s nimiž učitelé a žáci manipulují, představují samy o sobě abstrakci. Nejsou to modely hmotné, ale pouze jejich obrazy (byť v principu trojrozměrné) a tak je třeba žáky na práci předem připravit. Samotné modely pak musí být přehledné a dobře připravené, aby uvedený problém skutečně objasňovaly a nepředstavovaly v procesu poznávání naopak novou, nežádoucí překážku. Pokud připravujeme pro žáky úlohu konstrukční, úlohu, v níž by měli samostatně sestrojit požadované objekty, osvědčuje se připravit předem model se zadáním. Chceme-li sestrojit např. příčku mimoběžek, nenecháme žáky potýkat se s prázdnou scénou. V připraveném modelu můžeme navíc počáteční polohu zadaných prvků fixovat. Tím zajistíme i to, že žáci budou moci vlastní postup snáze porovnávat s postupy spolužáků. Po provedení konstrukce (nebo během ní) fixované prvky uvolníme a využijeme plně dynamiku konstrukce.
Nejobvyklejším problémem a častou chybou při práci s trojrozměrnou virtuální scénou je nesprávné určení polohy objektu ve scéně. Při interpretaci rovinného průmětu prostorového objektu si pozorovatel (necvičený v deskriptivní geometrii) obvykle domýšlí to, co na obrázku chybí, případně prohlásí obrázek za nesrozumitelný. Pokud sám skicuje, pak ví, co kreslí, sám svému obrázku rozumí a nepovažuje za nutné komentovat netušené nejednoznačnosti. Při práci s trojrozměrnou scénou proto mnohé začátečníky překvapí například nutnost zadat bod tak komplikovaně:
Tvůrci 3D systémů se obvykle snaží zpříjemnit uživateli práci tím, že nové objekty dovolí přichytávat k nějaké mřížce, rovině apod. Tím se zintuitivní obvyklé volby.
Dosud jsme komentovali problémy spojené s ovládáním systémů trojrozměrné dynamické geometrie. Nutno však dodat, že navzdory obvyklému tvrzení, že žáci jsou dnes natolik počítačově gramotní, že jim nedělá ovládání nových prostředí větší potíže a rychle se přizpůsobují, mají mnozí vážné problémy i se systémy pro dynamickou planimetrii. Nejde zde totiž o ovládání programu jako takového, ale o pochopení jeho filosofie a principů práce.
Největším problémem bývá nutnost určit polohu objektů jednoznačně a výslovně. Tedy například sestrojit kružnici opsanou trojúhelníku jednoznačným určením incidence kružnice a vrcholu (případně vrcholů – podle typu zvoleného nástroje). Obvyklý je postup, kdy žáci nějak určí střed (některé systémy přitom ledabyle přiblížený kurzor skutečně vztáhnou k blízkému objektu a tak žák někdy ani nemusí poznat, že udělal chybu) a pak kreslí – táhnou myší – tak dlouho, až kružnice vypadá správně. Mnozí takových chyb potřebují udělat a opravit více, než si ujasní logiku práce se systémem. Úvodní demonstrace učitelem příliš nepomůže, užitečnější je kontrolovaná manipulace. Musíme počítat s jednou vyučovací hodinou, která bude k seznámení se systémem nutná a během níž toho z geometrie samé moc neukážeme ani neprocvičíme.
Zde si uveďme jeden konkrétní příklad chyby, která vyplývá z výše uvedených problémů orientace ve trojrozměrné scéně. Je to chyba natolik obvyklá, že se jí v nejrůznějších kurzech práce s Cabri 3D dopustila vždy výrazně nadpoloviční většina účastníků, učitelů i žáků. Zároveň velmi dobře ilustruje podstatu problému práce s trojrozměrnými systémy.
Na samém začátku kurzu se účastníci seznámí s prostředím programu, zkouší manipulaci a naučí se zadávat body (včetně manuálního nácviku umístění bodu v základní rovině i mimo ni) a rovinné útvary. Poté modelují tělesa. V Cabri 3D lze sestrojit model jehlanu tak, že vybereme mnohoúhelník podstavy a určíme vrchol tělesa. Výsledek prvního pokusu většinou vypadá podobně jako na obrázku 2.1.
Důvod je zřejmý – tvůrce modelu vybral připravený mnohoúhelník podstavy a nakreslil vrchol na obrazovce nad podstavu. Ve skutečnosti však systém umístil nově zadaný bod předdefinovaným způsobem – tedy do základní roviny (daleko od pozorovatele). Při úvodní manipulaci si uživatelé obvykle nevšimnou toho, že jim systém naznačuje vzdálenost objektu jeho zamlžením (jakousi vzdušnou perpektivou). Chybu objeví, až když chtějí s tělesem dále pracovat nebo když pootočí pohled. Je nutné dovolit začátečníkům tuto (nebo podobnou) chybu udělat co nejdříve. Urychlí to proces seznamování se systémem a jeho filosofií.
Nácvik práce se systémem řeší však až druhý v řadě problémů. Prvním, základním problémem, je problém formulace úlohy a jejího řešení. Úzce souvisí se schopností zapsat postup konstrukce. Projevuje se plně již u planimetrických zápisů konstrukce. Jádro těchto problémů je často skryté za problémy s formalismem zápisu. Pokud žák vyřeší konstrukční úlohu tak, že zobrazí jakýsi náčrt, sestrojí pravítkem a kružítkem útvar vzdáleně připomínající útvar požadovaný a zápis konstrukce neuvede nebo zapíše cosi ne zcela srozumitelného, je jeho výkon chvalitebný nebo nedostatečný? Sestrojil požadovaný útvar správným postupem nebo se kružítkem trefil? Je zápis konstrukce špatně proto, že se žák ztratil ve formalismu, nebo proto, že nemá tušení o správném postupu? Liší se sestrojený útvar od požadovaného výsledku proto, že žák nedbale rýsuje (což není ani ojedinělý ani snadno odstranitelný jev), přehlédl se ve změti čar stejné barvy, nebo proto, že nemá tušení, jak úlohu řešit?
Pokud žák vyřeší úlohu v systému dynamické geometrie zkusmo, jeho chybu okamžitě prozradí změna polohy určujících prvků. Naopak, je-li jeho řešení stabilní, nutně použil korektní postup (byť možná ne optimální a zcela obecný). Možnost, kterou zmíněné školské systémy poskytují – zobrazení postupu konstrukce (a krokování provedené konstrukce), pak již jen zrekapituluje správnou posloupnost kroků ve formalizované podobě.
Modifikace zadání pak může přirozeně dovést žáky k potřebě určit podmínky a počet všech řešení úlohy pro různé konfigurace zadaných prvků, k diskusi. Nedává záruku její úplnosti, je spíše nástrojem, který dovolí učiteli srozumitelně upozornit na speciální případy a případná skrytá úskalí řešeného problému.
Uvedeme pouze stručný přehled systémů trojrozměrné dynamické geometrie či systémů jim podobných, používaných na našich školách či systémů, které jsou freewarové a jako takové vhodné k použití v těch školách, které se potýkají s finanční dostupností systémů placených.
Z volně dostupného software jmenujme především systém GeoGebra. Zatím je dostupná pouze jeho dvojrozměrná varianta. Jde o pokročilý a uživatelsky komfortní systém rovnocenně podporující systetický i analytický přístup k objektům. 3D varianta je v době úpravy tohoto textu pouze v tzv. beta-verzi a není zatím v podobě, která by umožňovala školské využití. Věříme však v její brzké zveřejnění.
Dalším programem, který je u nás volně šiřitelný, je systém 3DGeometrie, jehož autorem je Jaromír Dobrý ze ZČU. Tento relativně drobný program splňuje požadavky kladené na systém dynamické geometrie, patří k méně ambiciózním projektům, má méně komfortní ovládání než profesionální systémy, pro potřeby školské podpory však plně dostačuje.
V českých podmínkách vznikl a na české školy je distribuován systém Dynamická geometrie v prostoru. Tento placený program nabízí práci s lineárními objekty.
Na našich školách je rozšířený komerční a velmi propracovaný software Cabri, tedy i jeho 3D verze Cabri 3D, která má s rovinnou verzí shodnou filosofii a způsob ovládání. Jde o program francouzský, plně lokalizovaný do češtiny.
Na webu pak můžeme najít celou řadu odkazů na různé systémy, jmenujme např. do několika jazyků (ale ne do češtiny) lokalizovaný volně dostupný online systém Geo-metria, Euler 3D či rozvíjející se systém PyGeo, španělský, do mnoha jazyků lokalizovaný GEUp 3D a různé účelově zaměřené 3D modeláře. Slibně se rozvíjí také prostorový skicář Google SketchUp.
Na Slovensku se ve školách kromě zmíněného Cabri 3Dvyužívají systémy Yenka (širší balík výukového software zaměřený nejen na matematiku, ale i fyziku, chemii), Geometria, Geo-Space, GeoView, GeomSpace a Archimedes Geo 3D.
V Rakousku byl pro účely výuky stereometrie a deskriptivní geometrie vyvinut již v 90. letech speciální dodnes využívaný didaktický CAD systém CAD–2D a později i CAD–3D jehož hlavním autorem je H. Stachel (viz [1]) a [24]). Dále se na školách využívá výše zmiňovaný software.
Prudký rozvoj počítačové grafiky dává trojrozměrnému počítačovému modelování donedávna netušené a fantastické možnosti. Profesionální CAD/CAM systémy a nástroje pro prostorové modelování obvykle nabízejí velice variabilní prostředí. Na první pohled je patrná variabilita v uspořádání volitelného počtu oken, která obsahují nejen pohledy na scénu, ale i prostředí pro další pracovní nástroje (viz obr. 1.1). Pro volby pohledu (volbu promítací metody a středu či směru promítání) bývají k dispozici standardní a snadno dostupné předdefinované volby, jinak je však možné otáčet scénou pro aktuální pohled, přibližovat a oddalovat stanoviště pozorovatele bez větších omezení. Navíc bývají k dispozici možnosti nastavení tzv. pracovní roviny, kterou lze zvolit za průmětnu (kvůli potřebě snadno provádět v požadované rovině metrické konstrukce).
Základními objekty bývají kromě objektů typu Mesh, tedy ploch tvořených sítí polygonů, další geometrické objekty užívané v technické praxi: některé parametrické křivky a plochy a zejména křivky a plochy Nurbs a další typy objektů, označované někdy jako implicitní, někde jako Meta-objekty či Blob-objekty, tedy objekty geometricky určené základní kostrou a dalšími parametry ovlivňujícími vzdálenost hraničního bodu tělesa od této kostry. Tento výčet objektů však není zdaleka úplný. Kromě geo-metrických objektů obsahují modeláře objekty modifikační (např. šablony a kostry, které slouží např. pro animaci objektů scény) a nástroje a další pomocné objekty – zdroje světla, kamery a podobně.
Nové objekty se tvoří z těch základních pomocí operací, mezi něž patří vždy operace pro modifikaci objektů typu Mesh, dále tzv. booleovské operace (tedy sjednocení, odečtení a průnik), operace, které umožňují modifikaci objektů na základě transformací, symetrií, duplikací…
K vybavení takových systémů dále slouží široká škála nástrojů pro manipulaci s objekty a scénou. Samozřejmou součástí jsou často velmi propracované a členité systémy voleb podporující realistické renderování, volby materiálů, textur, případně tvorby animací, možnosti programování herní logiky, integrace tzv. částicových systémů, v technických aplikacích generování textur a kótování, simulace fyzikálních vlastností… A to jsme ještě nezmínili možnosti nástrojů pro tzv. virtuální realitu.
Nemá smysl pokračovat ve výčtu možností takových programů. Kdo si chce udělat představu, nechť si zajde do kina na animovaný film, navštíví návrhářské centrum vyspělé strojírenské firmy (pokud to bezpečnostní režim ve firmě umožní) a podobně. Důvodem výše uvedené poznámky bylo pouze ilustrovat fakt, že školské systémy trojrozměrné geometrie mají jiný účel a tudíž mnohými výše uvedenými možnostmi disponovat nebudou. Přebírají z nich pouze to, co je pro geometrické modelování ve škole nezbytné a užitečné tak, aby jejich ovládání zůstalo jednoduché a přehledné. Dále z výše uvedeného vyplývá i to, že uživatel nebude se žádným školským systémem plně spokojen, neboť bude vědět o spoustě nástrojů, které by v systému mohly být a nejsou. Z tohoto pohledu prosíme nahlížet i následující kritické poznámky k programu Cabri 3D, který byl zvolen pro tvorbu modelů v této práci.
Systémy trojrozměrné dynamické geometrie obsahují – na rozdíl od některých výše zmíněných programů – automatické permanentní dynamické spojení každého z daných (volných) prvků konstrukce se všemi, které jsou z něho odvozeny. To znamená – stejně jako u systémů dvojrozměrných – že každá provedená změna zadání se okamžitě projeví v celé konstrukci. Vyžaduje to přepočítání celé scény v reálném čase. Musíme proto očekávat, že při manipulaci s výrazně komplikovanými scénami může být výsledná odezva méně plynulá.
Základní geometrické objekty jsou přímka a její části, rovina a její části a některé křivky a jejich části (kuželosečky a kružnicové oblouky). Tělesa (alespoň tak jsou tyto objekty ve školském použití pojmenovány) bývají ve skutečnosti plochy, buď otevřené (kužele, válce – nemají podstavy) nebo svou podstatou uzavřené (koule, mnohostěny). Mnohostěny (jejich hranice) jsou však složeny z mnohoúhelníků, proto i manipulace s nimi bývá v principu jiná.
Systémy dále podporují přímou tvorbu odvozených objektů. Dále zde budeme mluvit spíše o nástrojích programu – jde o vestavěné konstrukce, které nám umožní přímo vytvořit odvozený objekt. Například rovnoběžnou a kolmou přímku a rovinu, rovinu souměrnosti, průnikovou křivku ploch (obvykle přímku a kuželosečku). V principu jde o analogii konstrukcí provedených pravítkem a kružítkem. Dalšími nástroji jsou transformace (zobrazení) a obvykle i nějaký výpočetní nástroj a možnosti přímé práce se souřadnicemi a analytickým vyjádřením objektů. Posledně jmenované funkce se stále rozvíjejí a míra jejich využitelnosti je v systémech různá. To souvisí s tím, jak jsou do systému začleněny prvky CAS. Booleovské operace podporovány nebývají, výjimkou jsou řezy mnohostěnů (kde ve skutečnosti o booleovskou operaci nejde). Systémy obvykle umí nějak zobrazovat informace o vzájemné poloze útvarů či měřit délky, obsahy ploch a objemy těles.
Důležitým didaktickým nástrojem je možnost skrývání některých nástrojů systému. Jednak můžeme dočasně skrýt některé nástroje s cílem zpřehlednit prostředí, častěji ale proto, abychom dovedli žáka k rozdělení nějaké nabízené konstrukce (předdefinovaného příkazu) na elementární kroky (konstrukce kružítkem a pravítkem).
Pro zobrazení scény obvykle slouží jeden základní pohled, přidávání dalších oken s pohledy bývá možné, ale ne příliš variabilní. Také volba promítání nebývá úplně libovolná a systémy preferují ve škole používané zobrazovací metody. Vzhledem k určení programu je to pochopitelné (žák otevře model a vidí stejný obrázek jako v učebnici), ale pro interaktivní prozkoumávání scény poněkud omezující. Příliš hezký nebývá ani vzhled objektů, problematické bývají možnosti volby výplně ploch.
V úvodu kapitoly jsme zmínili základní problém – porozumění principu zobrazení objektů trojrozměrné virtuální scény na dvojrozměrnou obrazovku počítače a určení polohy objektu v prostoru (viz klam na obrázcích 2.2, 2.3). Zmiňme nyní další problémy, které mohou původní dobrý úmysl – názorně demonstrovat prostorový vztah – značně zkomplikovat.
Na závěr této popisné kapitoly věnujme pozornost konkrétním problémům při práci se systémem Cabri 3D. Tento systém jsme zvolili pro vytvoření modelů přesto, že jde o produkt licencovaný a ne právě levný. Je zatím – alespoň z našeho pohledu – nejpokročilejčím a nejstabilnějším systémem tohoto typu a je lokalizován do češtiny. Používá se také v českých školách. Za poslední dva roky se však neobjevila žádná nová verze, je tedy možné, že bude postupně vytěsněn nástrojem výkonnějším. Systém nabízí možnost exportovat všechny vytvořené modely do html stránek. Ty jsou zobrazitelné webovým prohlížečem, který má nainstalovaný zásuvný modul (plug-in) pro interaktivní zobrazování modelů Cabri 3D. Tento modul je volně dostupný. Připravené demonstrační modely jsou tedy použitelné jejich prostřednictvím. Návrhy pro žákovskou tvorbu modelů, zejména konstrukční úlohy, je možné navrženým postupem realizovat v jiném prostředí (předpokládáme rychlý vývoj zejména trojrozměrné verze programu GeoGebra, který zpoplatněný není). Pro vlastníky Cabri licence jsou bezprostředně využitelné všechny námi navržené modely.
Předpokládáme, že modely budeme v souladu s vlastní didaktickou potřebou aktualizovat a případně převádět do aktuálnějšího prostředí, pokud se takové objeví. Nyní ale uveďme stručný komentář ke zvolenému systému.
Nástroje a prostředí systému byly obecně popsány dříve. To, co jinak příjemnou práci se systémem znesnadňuje, či co pro pohodlné modelování chybí a tím použitelnost systému do značné míry omezuje, uvedeme v následujícím výčtu. Obrázek 2.4 ilustruje navíc problém, který je společný všem podobným systémům: problém související s nutností nějak omezit zobrazení nekonečných objektů. Obraz roviny řezu je systémem oříznutý na obdélník a rovina zdánlivě nedosáhne na svůj řez jehlanu.
Systém Cabri 3D umožňuje takové objekty vybrat ze seznamu kroků v zápisu konstrukce. Vnitřní krychli ani osmistěn v obr. 2.5 není možno přímo vybrat pomocí myši, zakrytý bod – střed S těles – ano. Pokud zobrazíme postup nástrojem Zápis konstrukce bez volby Redukovat a naopak s volbou Zobrazit skryté objekty, můžeme v tomto textovém zápisu vybírat libovolný objekt, který je zmíněn v některém kroku konstrukce a z kontextového menu měnit jeho vlastnosti – viz obr. 2.5. Pokud při konstrukci důsledně popisujeme všechny důležité objekty, usnadníme si tím orientaci v okně zápisu konstrukce. (Cabri 3D má ještě jednu funkci, která práci zpříjemní – dovolí zvýraznit všechny volné body, tedy body, které byly ve scéně volně zadány a definují tudíž určující prvky celé konstrukce. V programu GeoGebra je rozdělení objektů na volné a vázané vyznačené v algebraickém okně.)
Elegantnějším řešením by mohl být výběr objektů z jejich textového seznamu a využití vrstev. Vrstvy jsou samozřejmou součástí většiny 3D systémů. Modelovat v členitém prostředí, kde se objekty navzájem zakrývají, nedokáže efektivně nikdo. Obě jmenované funkce má ve svém prostředí program GeoGebra (zatím v dvojrozměrné verzi) a tudíž lze očekávat jejich využití ve 3D variantě.
Druhým příkladem je využití inverze. Jde o zobrazení, které sice není součástí povinného geometrického kurikula na českých školách, nicméně jde o velice silný a zajímavý nástroj. Systém poskytuje přímý nástroj k sestrojení obrazu roviny, přímky, kulové plochy, kružnice a bodu v kulové inverzi. Ví, že obrazem kulové plochy je kulová plocha (byť za ni vydává i rovinu), ale nevyznačí její střed. Najít střed sestrojené kulové plochy sice umíme, ale opět platí, že by bylo výhodné mít možnost uložit zmíněnou členitou konstrukci středu jako nový příkaz.