Previous Up Next

Chapter 3  Stereometrie na střední škole

Tato kapitola odpovídá svým obsahem učivu stereometrie na střední škole a doplňuje celý jeho rozsah. Odpovídá přibližně obsahu učebnic [22] a [16]. Je pouze na volbě učitele, které partie při výuce zdůrazní a které potlačí. Modely a úlohy, které zde uvádíme a komentujeme, jsou dostupné pro většinu žáků a případné doplňující materiály nalezne čtenář pomocí odkazů do dalších částí práce. Kapitola je členěna tématicky. Není však míněna jako alternativní učebnice. Některé úlohy, které učebnice uvádí, nemá dobrý smysl nahrazovat počítačovým modelováním. Například k úlohám o površích a objemech těles je samozřejmě možné vytvořit ilustrační model, ale cílem úloh je to, aby žák dokázal najít a použít příslušné vzorce a pro ně určit na tělese potřebné rozměry. Počítačový model mu sice ukáže například výšku jehlanu celkem bezpracně, ale nenaučí ho, jak ji spočítat z jiných délek. K takovým úlohám jsme tedy modely nevytvářeli. Úvodní část této kapitoly nenese obvyklý název Základy promítání, ale Začínáme pracovat se 3D modelářem, i když se v ní o promítacích metodách zmíníme.

Konstrukčním úlohám, které jsou díky systémům 3D geometrie znovu realizovatelnou součástí výuky stereometrie, jsme věnovali samostatnou Kapitolu 4 chap:konstr. Podle našeho názoru zaslouží speciální pozornost proto, že konstrukční úlohy uvádějí do souvislostí dílčí stereometrické poznatky a vedou k jejich aktivnímu osvojení. Takové úlohy bývají obsahem předmětu deskriptivní geometrie, kde se průměty požadovaných útvarů skutečně rýsují. Pokud škola takový předmět dosud nabízí, zůstávají jeho možnosti limitované zejména časovou náročností konstrukčních úloh. Trojrozměrné modeláře přinášejí zásadní obrat do možností zobrazovat konstrukce a umožňují, aby se konstrukční úlohy v prostoru staly běžnou součástí stereometrického učiva.

Mnohé základní prostorové vztahy je nejcennější demonstrovat na pevných modelech, nejlépe drátěných nebo nítěných a virtuální scéna se nemůže takovým modelům nikdy svou názorností vyrovnat. Její význam je jiný. Opakujeme zde to, co bylo uvedeno již v předmluvě: nechceme virtuálními modely nahrazovat skutečné, hmatatelné objekty reálného světa. Chceme doplnit to, co jde v pevném modelu demonstrovat obtížně. Pokud žák dokáže bezpečně určit mimoběžky v pevném modelu (či jednoduše pomocí dvou špejlí), pochopil obsah pojmu. Pokud to dokáže v počítačovém modelu, ztotožnil se navíc s abstrakcí jejich zobrazování. Pokud to dokáže na obrázku (jednoznačně definovaného tělesa), umí si prostorové vztahy představit.

Pro některé žáky s horší prostorovou představivostí zůstane modelování ve 3D prostředí náročným úkolem, abstrakcí, která pro ně bude představovat další překážku v již tak náročné kapitole. Tito žáci budou jistě schopni pasivně přijímat demonstrační modely, budou schopni manipulovat s dobře navrženými interaktivními modely, ale bylo by zbytečné nutit je k samostatnému modelování, pokud je samotné nezaujme. Někdy může pomoci spolupráce se zdatným a ochotným spolužákem, jindy je lépe zaměstnat žáka alternativní manuální aktivitou. Před čtyřmi lety nám (po kurzu stereometrie vedeném s počítačovou podporou) odpovědělo v anonymním dotazníku 30 % žáků, že používání trojrozměrných modelů jim nijak výrazně nepomohlo. Z těchto žáků pak polovina, že pro ně bylo nové prostředí spíše překážkou. Navíc je třeba brát ohled na to, že jednostranné využití počítače zplošťuje oblast vnímání a tím paradoxně vede k přesnému opaku deklarovaného cíle. Nelze podcenit nebezpečí únavy vyplývající z dlouhé práce s počítačem, u některých žáků i nebezpečí ztráty koncentrace. To, že je jich výrazná menšina, nemůže být důvodem k přehlížení této skutečnosti.

3.1  Začínáme pracovat se 3D modelářem

V této části čtenář mnoho modelů nenajde. Zařadili jsme sem posloupnost úkonů, které by (v libovolném systému dynamické geometrie) měl vyzkoušet každý, kdo se se systémem teprve seznamuje. Úlohy jsou zvoleny tak, aby ukázaly a provedly uživatele možnými úskalími modelování a manipulace v programu a pomohly k pochopení filosofie práce s ním tak, jak bylo zmíněno v úvodu. K úkolům neuvádíme správné postupy. Jednak se prostředí jednotlivých programů liší a jednak jde většinou o využití základních příkazů systému, k nimž vede intuice nebo bezprostřední nápověda.

Tato kapitola nemůže být manuálem konkrétního systému dynamické geometrie. V celé práci budeme úkoly a jejich řešení formulovat co nejobecněji, aby byla závislost textu (s nutnou výjimkou odkazů na konkrétní modely) na vybraném systému co nejmenší.1

V rámci seznámení se systémem se pravděpodobně mnoho nového z geometrie nedozvíme, ale na jednoduchém modelu promitani můžeme demonstrovat základy promítání, které uvádí učebnice.


V následujících úlohách sestrojte požadované útvary a pak se vždy otočením pohledu přesvědčete o tom, že jste skutečně sestrojili požadovaný útvar správně. Jako motivace či naopak varování může sloužit model klam.

Úloha 1   Modelujte bod v základní rovině.

Každý systém může mít základní rovinu jinou, nejčastěji to bývá některá souřadnicová rovina.

Úloha 2   Modelujte bod A[1, 3, −2] a k němu (různými způsoby a v různém pořadí) body A1[1,0,0], A2[0,3,0], A3[0,0,−2].
Úloha 3   Modelujte přímku a v základní rovině, která prochází středem O soustavy souřadnic. Modelujte přímku b, která neleží v základní rovině a prochází středem O soustavy souřadnic.
Úloha 4   Ve stejném modelu sestrojte bod C, který leží v rovině α≡(a, b) mimo přímky a,  b z minulé úlohy. V bodě C vztyčte k rovině α kolmici k.
Úloha 5   Ve stejném modelu modelujte bod D, který leží mimo rovinu α i mimo přímku k. Z bodu D spusťte kolmici p k rovině α a určete její průsečík P s rovinou α. Pokud P=O, posuňte bod D tak, aby body P, O nesplývaly.
Úloha 6   Ve stejném modelu sestrojte kružnici m opsanou trojúhelníku OCP. Sestrojte rotační válec s podstavou ohraničenou kružnicí m a druhou podstavou, jejíž hrana prochází bodem D. (model uloha16, obr. 3.1)

Figure 3.1: Úloha 6

Figure 3.2: Úloha 8


Úloha 7   V novém modelu sestrojte v základní rovině obecný čtyřúhelník ABCD. Sestrojte nějaký jehlan ABCDV.
Úloha 8   Ve stejném modelu doplňte sestrojený jehlan ABCDV na čtyřboký hranol ABCDABCD, kde V=A. (model uloha18, obr. 3.2)
Úloha 9   V novém modelu sestrojte libovolné dvě mimoběžky p,   q, každou z nich určete dvojicí bodů.
Úloha 10   Sestrojte nějaký čtyřstěn ABCD. Můžete využít předchozí sestrojený model? (model uloha110, obr. 3.3)
Úloha 11   Ve stejném modelu sestrojte kulové plochy nad průměry AB, AC, AD. (Jaká část čtyřstěnu zůstane vně kulových ploch? Při jaké vzájemné poloze vrcholů? Proč? Viz [29], str. 37. Odpověď na položené otázky patří spíše do Kapitoly 6, ilustrace viz model uloha111, obr. 3.4)

Figure 3.3: Úloha 10

Figure 3.4: Úloha 11


Úloha 12   V novém modelu sestrojte libovolnou přímku o=OV a bod A mimo ni. Modelujte rotační kužel s osou o, vrcholem V a s podstavnou kružnicí procházející bodem A. (viz také [16], úloha 34.13.)

Poznámka: Cabri 3D obsahuje přímou konstrukci kružnice ohraničující podstavu kužele. Zadání konstrukce viz model ova.

Příklad 13   V modelu promitani demonstrujte vlastnosti volného rovnoběžného promítání uvedené v učebnici. Porovnejte je s vlastnostmi jiných použitých promítacích metod.

Zkreslení rovinných útvarů (délek a tvarů) v jejich průmětu a problém s určením skutečných rozměrů promítnutého útvaru by žákům mohl objasnit model skvel02. Ukazuje řešení problému otočením útvaru do průčelné roviny. Model skvel01 je na pohled složitější.

3.2  Vzájemná poloha přímek a rovin
(základní poučky)

Modely připravené pro následující dvě podkapitoly je velice obtížné uspořádat chronologicky. Tělesa není možné definovat bez základních geometrických pojmů, vztahů (např. rovnoběžnost, kolmost…) a vlastností, základní pojmy se naopak nejlépe ilustrují na (hmotných) modelech těles.

Přestože zde pro úplnost uvádíme ilustraci některých definic a pouček, považujeme za vhodné demonstrovat uvedené vztahy nejprve na pevných modelech. Virtuální modely těles využijeme spíše ke cvičením a následující modely spíše při shrnutí učiva. Jde o modely kolmice01kolmice02 (definice a kritérium kolmosti přímky a roviny), rovnob01 (kritérium rovnoběžnosti přímky s rovinou), kolmerov (kritérium kolmosti rovin), rovnob02 (dvě rovnoběžné roviny proťaté třetí), triroviny (vzájemná poloha tří rovin v prostoru) a konstrukce příčky daných mimoběžek po řadě bodem, směrem a nejkratší příčka – pricka01, pricka02, pricka03, prickakolma. Pro samostatnou konstrukci příčky mimoběžek v úloze 4, kterou by měli provádět sami žáci, obsahují modely pricka010, pricka020, pricka030 pouze zadání.

Za podstatné považujeme zdůraznění vlastnosti mimoběžných přímek, kterou někdy žáci plně nepochopí – nekomplanárnosti. V pohledu (míněno v průmětu) se tato vlastnost projevuje tak, že se mimoběžky nikdy nekryjí a jejich zdánlivý průsečík se při změně pohledu posouvá (to je dobře vidět zejména tehdy, zobrazujeme-li mimoběžné úsečky). Velmi dobře se uvedené vlastnosti demonstrují na čtyřstěnu. Je užitečné zdůraznit, že protilehlé dvojice hran čtyřstěnu jsou vždy mimoběžné.

Méně obvyklé formulace úloh o vzájemné poloze základních prostorových útvarů můžeme najít ve starších učebnicích. Například učebnice [3] obsahuje v dílu II., v části Stereometrie mnoho úloh různé obtížnosti – včetně zcela základních. Většina z nich je formulována jako úlohy konstruktivní, některé proto uvedeme v Kapitole 4. Zde uvádíme pro zajímavost (bez jazykové úpravy) jen tři, jejichž řešení vidíte na obrázcích 3.53.7.


Figure 3.5: Úloha 1

Figure 3.6: Úloha 2

Figure 3.7: Úloha 3


Úloha 1   Odůvodněte, že rovina rovnoběžná k dvěma stranám prostorového čtyřúhelníku dělí ostatní dvě strany v úseky úměrné. (model prost4u, obr. 3.5)
Úloha 2   Dán jest bod a soustava rovnoběžných přímek v prostoru; co platí o rovinách určených bodem tím a jednotlivými přímkami? (model sva, obr. 3.6)
Úloha 3   Jak lze vésti ve dvou rovinách nerovnoběžných rovnoběžky? (model pru2, obr. 3.7)

3.3  Tělesa I (mnohostěny)

Nesporným přínosem virtuálních modelů je jejich snadná modifikovatelnost. Toho využijeme zejména k předvedení nepravidelných a kosých těles. Žáci s nimi nemívají velké zkušenosti a často zaměňují změnu tvaru a změnu polohy (v rovině je pověstně známým příkladem této chyby otočený čtverec považovaný za kosočtverec).

3.3.1  Hranoly

Model hranoly0 obsahuje připravené prostředí pro konstrukci hranolů. Model hranoly1 pak slouží pro přímou demonstraci a obsahuje již hotové modely pravidelných, nepravidelných, kolmých i kosých, konvexních i nekonvexních hranolů.

V modelech rovnobklenec, které ukazují speciální případy čtyřbokých hranolů (rovnoběžnostěn a klenec – obr. 3.8, 3.9), manipulujte žlutě obarvenými body.


Figure 3.8: Rovnoběžnostěn

Figure 3.9: Klenec


V modelech můžete označovat stěny, hrany, tělesové a stěnové úhlopříčky a určovat jejich vzájemnou polohu. Můžete také přímo sestrojit sítě těles – viz podkapitola 3.3.5.

3.3.2  Jehlany

Struktura modelů je podobná jako v minulé podkapitole. Model jehlany0 obsahuje připravené prostředí pro konstrukci pravidelných, kosých a obecných jehlanů. Model jehlany1 slouží pro přímou demonstraci jehlanů. Modely komoly ukazují komolé jehlany. Modely jsou sestrojeny pomocí nástroje Seříznout mnohostěn, který dává výsledek pouze pro konvexní mnohostěny. Model komoly1 je proto upraven pro demonstraci komolých nekonvexních jehlanů spojením dvou jehlanů ABCDVADEFV. Body A, D se pak mohou přesunout dovnitř konvexního čtyřúhelníku BCEF.

Také k těmto modelům můžete sestrojit jejich sítě – viz podkapitola 3.3.5.

Čtyřstěny

Čtyřstěnu – trojbokému jehlanu – se zde budeme věnovat podrobněji. Podobně jako trojúhelník v rovině, tvoří čtyřstěn v prostoru základní mnohostěn. Můžeme pro něj odvodit mnoho vlastností a vět, které nemusí být patrné na první pohled. Učebnice se jimi příliš nezabývají, přestože jsou mnohdy snadné. Nebývá však snadné je ukázat na pevném modelu, takových modelů bychom potřebovali celou řadu.

Modely tezistemaly ilustrují tvrzení z učebnice [22], str. 126, že spojnice středů protějších hran čtyřstěnu procházejí jedním bodem. Pouhé předložení poznatků (jakkoli demonstrované modelem) většinou neutkví žákům příliš v paměti. Je na zvážení učitele, na časových možnostech a schopnostech žáků, zda upřednostní konstruktivistický přístup a nechá zmíněné poznatky žákům k samostatnému objevení pomocí vhodné konstrukční úlohy – viz Kapitola 4, příklad 9. Zmiňme podrobněji sadu modelů maly. V následujících úlohách můžeme formulovat snadná tvrzení:

Úloha 1  Ukažte a zdůvodněte, že spojnice středů protějších hran čtyřstěnu procházejí jedním bodem. (Tímto bodem je jejich společný střed – viz model maly.)

Figure 3.10: Středy příček

Figure 3.11: Oddělování objemů


Jako návodné mohou sloužit následující úlohy:

Úloha 2  Rozhodněte o vlastnostech čtyřstěnů, které mají vždy jeden vrchol ve vrcholu daného čtyřstěnu a další tři vrcholy ve středech hran, které z něho vycházejí. (model maly1, obr. 3.10)
Úloha 3  Rozhodněte o vlastnostech osmistěnu s vrcholy ve středech hran daného čtyřstěnu (model maly2). Určete jeho objem a rozdělte ho na dílčí jehlany o stejných objemech (model maly3, obr. 3.11).

Zajímavou vlastnost objemu čtyřstěnu ukážeme v následujících úlohách:

Úloha 4  Zkoumejte objemy čtyřstěnů, které mají dvě protější hrany AB, CD na daných mimoběžkách a délky těchto hran jsou dané (platí |AB|=m, |CD|=n). (model objem1, obr. 3.12)
Příklad 5  Dokažte, že čtyřstěny, které mají dvě protější hrany AB, CD na daných mimoběžkách, a pro délky těchto hran platí |AB|=m, |CD|=n, mají stejný objem.

Řešení: (model objem2) K vyřešení problému využijeme řez tělesa vhodně zvolenou rovinou rovnoběžnou s danými mimoběžkami a Cavalieriho princip. Uvedený řez čtyřstěnu je rovnoběžník, jehož strany jsou rovnoběžné s danými hranami (jsou to příčky oddělující ze stěn podobné trojúhelníky) a tudíž se při posouvání těchto hran v jejich směru nemění jeho tvar (a tím ani obsah). Tvrzení možná ozřejmí konstrukce trojbokého hranolu, jehož jedna stěna je rovnoběžník se stranami ABCD′, kde B=C′ a CD′ je posunutým obrazem CD a jeho třetí boční hranou je úsečka CD.

Nebo můžeme v modelu přímo ukázat (viz obrázek 3.13 a model objem3), že strany rovnoběžníku řezu – úsečky m1n1 ve zvolené rovině rovnoběžné s danými mimoběžkami – mají při pohybu stran čtyřstěnu konstantní velikost a úhel.


Figure 3.12: Objem čtyřstěnu

Figure 3.13: Příklad 5



Zatímco těžiště čtyřstěnu existuje vždy, o společném průsečíku výšek to neplatí. Čtyřstěn, pro který společný průsečík výšek – ortocentrum – existuje, se nazývá ortocentrický. Platí, že čtyřstěn je ortocentrický právě tehdy, jsou-li každé jeho dvě protější hrany navzájem kolmé. Pokud se nechceme pouštět se žáky přímo do důkazu uvedeného tvrzení, můžeme jim zadat konstrukční úlohy (úlohy 1012) vedoucí k objevení zmíněného kritéria. Žáci si ho tak lépe zapamatují.

3.3.3  Pravidelné a polopravidelné mnohostěny

Sada nástrojů Cabri 3D obsahuje přímou konstrukci Platónských těles, která je natolik snadná, že navrhujeme jejich modelování jako lehké cvičení. Zajímavější úlohou může být úkol najít jejich opsanou a vepsanou kulovou plochu či rozdělit opsanou kulovou plochu na shodné části nad stěnami mnohostěnu. Virtuální model může ukázat vlastnosti duálních mnohostěnů: pravidelný dvanáctistěn a pravidelný dvacetistěn jsou duální mnohostěny (model dual2), stejně jako krychle a pravidelný osmistěn (model dual1). Pravidelný čtyřstěn je duální sám k sobě.

Učebnice [22], str. 160–162 uvádí příklad výpočtu povrchu a objemu pravidelného osmistěnu vepsaného do kulové plochy o poloměru r. Jde o úlohu obtížnou a obdobné úlohy pro pravidelný dvanáctistěn a dvacetistěn jsou ještě obtížnější. Modely nám v tom příliš nepomohou, pomocí měřicích nástrojů zjistíme pouze přibližné číselné hodnoty.

Zajímavé cvičení, na které můžeme navázat tvorbou papírových modelů, je modelování různých polopravidelných těles. Jsou to taková tělesa, jejichž stěnami jsou pravidelné mnohoúhelníky, ale ne jednoho, ale několika typů a v každém vrcholu tělesa se stýká stejný počet stěn co do počtu i typu. Snadno odvodíme, že na jednom tělese nemohou být současně více než tři typy n-úhelníků. Pokud by tam byly alespoň 4 typy, platilo by pro počet jejich stran

n1 +n2 + n3 + n4 ≥ 3 + 4 + 5 + 6

a součet vnitřních úhlů stěn ve vrcholu by tudíž byl nejméně roven

60+90+108+120=378,

což by bylo více než plný úhel a to je spor. Na jednom polopravidelném tělese jsou tedy mnohoúhelníky dvou nebo tří typů. Jejich popis (popis třinácti z nich) podal již Archimedes. Další dva druhy jsou pravidelné hranoly a tzv. antihranoly. Přehledný výčet a popis nepravidelných těles obsahuje např. [2].

Zkuste některé polopravidelné mnohostěny vymodelovat. Začneme-li těmi nejjednoduššími, jsou to (po hranolech) nejspíš právě antihranoly. Uvádíme jeden model (anhr5333) – antihranol s pětiúhelníkovou podstavou. Formulaci úlohy najdete v Kapitole 4. Konstrukce dalších polopravidelných těles je složitější. Uvádíme model polopravidelného mnohostěnu, v němž se v každém vrcholu stýká čtverec se dvěma pravidelnými šestiúhelníky (model polo466) a modely, které obsahují prototyp pro vytvoření těles typu 388 (trojúhelník a dva pravidelné osmiúhelníky v každém vrcholu) a typu 3444 (modely prot388prot3444).

3.3.4  Hvězdicové mnohostěny

Další esteticky velice působivá tělesa můžeme získat operacemi s pravidelnými mnohostěny. Jsou to nejrůznější hvězdicové mnohostěny. I o nich bylo v literatuře mnohé napsáno. Možná nejúplnější přehled odkazů najdete na Wikipedii [38], zajímavé jsou i virtuální modely ve [11].

Konstrukce těchto mnohostěnů bývá složitá a dosti zdlouhavá. Takové mnohostěny, jaké vidíte v modelech hvezda či stella (Stella Octangula), však určitě dokáží žáci vymodelovat sami. Cabri 3D nepodporuje tvorbu hvězdicových mnohostěnů přímo, je nutné modelovat je postupně. Podívejte se na dva modely – malý a velký hvězdicový dvanáctistěn (modely small12great12, obr. 3.15, 3.16), které mají stěny vytvořeny z plošek – částí pravidelných pětiúhelníků (konvexních nebo nekonvexních). Obalují pravidelný dvanáctistěn, jehož stěny jsou také pravidelné pětiúhelníky (tj. pokud bychom ořezali všechny cípy, zůstalo by jádro tvořené pravidelným dvanáctistěnem). Jejich pětiúhelníkové stěny mají vrcholy ve vrcholech pravidelného dvacetistěnu.


Figure 3.14: Mnohostěn

Figure 3.15: Malý hvězdicový dvanáctistěn

Figure 3.16: Velký hvězdicový dvanáctistěn


3.3.5  Sítě těles

Konstrukce sítě tělesa je činnost, která výrazně podporuje představu o vzájemné poloze stěn tělesa, o skutečných délkách hran a velikostech úhlů. Konstrukce sítě a následné složení tělesa je důležitá manuální aktivita. Bohužel, sestrojení sítě složitějšího tělesa bývá dosti zdlouhavé, takže ve škole obvykle stihneme sestrojit jen sítě jednoduché a příprava podkladů – sítí – pro žákovskou manipulaci je pro učitele časově vyčerpávající. Proto se k sítím těles vrátíme ještě v Kapitole 7, kde najde učitel několik připravených dynamických modelů.

Přestože podpora tvorby sítí není v Cabri 3D příliš komfortní, může práci učitele hodně usnadnit. Uveďme nejprve omezení. Cabri 3D podporuje pouze tvorbu sítí konvexních těles. Navíc je výsledná síť obtížně konfigurovatelná a v obvyklé podobě má nepříjemnou, hvězdicovitou konfiguraci – postava tělesa je uprostřed a stěny se rozevírají od jejích stran. Je nesnadné toto chování změnit a určit, které stěny mají zůstat spojené a podél kterých hran se má těleso rozstřihnout. Takovou možností disponují jiné 3D modeláře, ale Cabri 3D ne. Přesto lze toto omezení obejít trikem. Pokud k našemu tělesu vytvoříme totéž těleso, které je jeho konvexní obálkou, je možné při zadávání řídících prvků konvexní obálky pořadí rozvinovaných stěn do jisté míry ovlivnit. Je to postup poněkud zdlouhavý, ale při jisté pečlivosti nám umožní vygenerovat několik různých sítí téhož konvexního mnohostěnu. Další postup už je pohodlný. Cabri nabízí možnost vygenerovat k připravené síti samostatnou stránku s touto sítí ve skutečné velikosti. Stránku je možné vytisknout a následně použít pro manuální manipulaci. Model site1 obsahuje čtyřboký jehlan a další tři strany dokumentu jeho tři různé sítě.

Vytvořené sítě přebírají vlastnosti sítě v modelu (barvu) a zůstávají dynamicky spojené s výchozím modelem, při jeho změně (změně polohy vrcholů tělesa) se současně mění sestrojená síť. Prostřednictvím sítě v modelu (v hlavní stránce dokumentu) lze upravovat skrytý mnohostěn, ve stránce se sítí už lze jen upravit graficky síť jako celek.

Sítě můžeme sestrojit i k modelům seříznutých těles (viz podkapitola 3.4). Při následné dynamické manipulaci však musíme dodržet původní typ řezu a incidenci vrcholů. Řez musí protínat stejné hrany, počet vrcholů n-úhelníku řezu se nesmí změnit. Pokud tuto podmínku porušíme, síť zmizí.

V podkapitole 3.5 se zmíníme o omezení pro modely oblých těles. Vyplyne z nich i skutečnost, že rozvinutí takových ploch není podporováno. Pokud tedy chceme sestrojit rozvinutý plášť válce nebo kužele, musíme sestrojit speciální model s pomocnými ploškami. Dva takové modely – valecpl a kuzelpl1 přikládáme. Byly vytvořeny s pomocí stopy dostatečně malé rovinné plošky – čtyřúhelníku, kterým je nahrazena část pláště – při pohybu podél podstavné kružnice. Tyto plošky pak byly klasickou konstruktivní metodou naneseny podél kružnicového oblouku o správném poloměru.

3.4  Řezy mnohostěnů

Přínosem systému dynamické geometrie pro konstrukci řezů mnohostěnů je zejména možnost okamžitě zobrazit správný rovinný řez tělesa a zkoumat tak jeho vlastnosti ještě dříve, než žáky naučíme řezy sestrojovat. Nemusíme odvozovat vlastnosti nejprve teoreticky z vlastností vzájemné polohy rovin, můžeme je hned ukázat a poté zmíněnými vlastnostmi zdůvodnit. Na modelech můžeme popsat a zdůvodnit konstrukci průsečnic a průsečíků a zdůraznit, že rovinným řezem konvexního tělesa je vždy konvexní útvar (obvykle konvexní n-úhelník). Pro konstrukci řezů konvexních mnohostěnů má Cabri 3D přímý nástroj Oříznout mnohostěn.

Pokud chceme připravit vlastní dynamické modely pro žáky, je vhodné použít ve scéně rovinu řezu, která bude otočná nebo posuvná (nebo obojí). Skutečnost, že v Cabri 3D dosud není možné vytvářet makrokonstrukce, nutí konstruovat takovou rovinu v každém modelu znovu. Omezeným způsobem sice lze použít metodu Copy–Paste (Kopírovat–Vložit) z jednoho modelu do druhého, počítejte však s předem netušenými a frustrujícími efekty. Jinou možností je připravit takovou rovinu do vzorového modelu a ten pak využívat jako úvodní šablonu pro tvorbu modelů dalších (model rovinaot). Skutečnou vlastní šablonu (tj. předpis, na jehož základě by systém založil nový soubor) však systém opět nepodporuje. Připravené šablony slouží pouze k volbě výchozího druhu zobrazení (tj. promítání a uspořádání pohledů v modelu).

Pokud chceme sestrojit ještě univerzálnější scénu s řezy, můžeme se inspirovat modely řady otocrez nebo je přímo použít. Model obsahuje nejen otočnou scénu, v ní otočnou rovinu, ale rovnou i ukázku tělesa postaveného na posuvné a otočné platformě. V modelu otocrez0 jsou pro objasnění principu kostrukce prototypu zvýrazněny všechny jinak skryté konstrukční prvky. Na platformu můžeme postavit jakékoliv těleso, v modelu otocrez4 je to kosý válec.

Před vysvětlením principů konstrukce řezů mnohostěnů rovinou se nám osvědčila manipulace v modelu. Žáci manipulovali pohyblivou rovinou (zadanou třemi body) a snažili se sestrojit řez tělesa stanoveného typu. Zajímavé byly reakce žáků na nesplnitelné úkoly v úvodních úlohách následující podkapitoly.

3.4.1  Řezy krychle, kvádru a hranolů

Sada úkolů pro motivační manipulaci:

Úloha 1   Rovina je dána třemi volnými body (model krrez1, obr. 3.17). Umístěte určující body na přímky procházející hranami krychle tak, aby řezem dané krychle rovinou byl:
a)
bod
b)
hrana
c)
trojúhelník
d)
stěna
e)
čtyřúhelník
f)
pětiúhelník
g)
šestiúhelník
h)
sedmiúhelník

Řešení posledního úkolu žáci po chvíli vzdávali s tvrzením, že to nejde. Zdůvodnit to však – počtem stěn krychle – většinou samostatně neuměli. Podobný problém působil také úkol 2a).

Úloha 2   Umístěte body pohybující se po přímkách, v nichž leží mimoběžné hrany krychle (model krrez2, obrázek 3.18) tak, aby průnikem roviny a krychle byla:
a)
jedna stěna krychle
b)
jedna hrana krychle
c)
vrchol krychle
d)
čtyřúhelník
e)
pětiúhelník
f)
šestiúhelník

V modelu motivace žáci odhadovali, co bude řezem tělesa rovinou kolmou k dané přímce (obr. 3.19).


Figure 3.17: Řez krychle

Figure 3.18: Úloha 2

Figure 3.19: Kolmá rovina



Interaktivní model pro cvičení konstrukce řezů krychle může sloužit buď pro přímou konstrukci řezu s využitím pouček o vzájemné poloze rovin v prostoru, nebo jako pomůcka pro generování cvičení a testových úloh. Druhé možnosti se budeme věnovat v Kapitole 7. Pokud chceme používat model interaktivně, je užitečné skrýt nástroje, které by zbytečně rozptylovaly pozornost žáků. Můžeme ponechat jen nástroje pro konstrukci rovnoběžek a průsečíků. Tyto nástroje samy o sobě nedovolí udělat žákům některé obvyklé chyby, například jim neumožní sestrojit průsečík přímek, které jsou ve skutečnosti mimoběžné. Na papíře takové zábrany nejsou. Pro možnost okamžité kontroly správnosti můžeme ještě ponechat dostupný nástroj Oříznout mnohostěn, který ale zakážeme používat dříve, než žák dokončí řešení. Takový model je například krrez3. Změnu zadání roviny řezu docílíme snadno pomocí nástroje Předefinovat, který nám dovolí libovolně změnit polohu určujícího bodu roviny řezu. Jeden velmi jednoduchý příklad zadání a řešení řezu krychle rovinou je v modelech rezcv0, rezcv1.

Při školních konstrukcích v sešitě při použití volného rovnoběžného promítání obvykle nesestrojujeme řezy kvádru ani rovnoběžnostěnu. Důvodem je pracnost tvorby zadání. Na průmět krychle míváme šablonu či předtisky, jiné zadání vyžaduje těleso znovu narýsovat. Další problém je ten, že při zobrazování těles ve volném rovnoběžném promítání jsme zvyklí zobrazovat pouze předpokládané známé typy mnohostěnů. Jinak nemůžeme z jediného obrazu těleso určit. Tento problém se běžně nezmiňuje (abychom žákům problémy více nekomplikovali), ale zcela mizí užitím dynamické geometrie. Stačí mít připravený jeden základní dostatečně modifikovatelný model rovnoběžnostěnu (model rezrovn). Rovinné řezy v něm můžeme sestrojovat zcela analogicky jako řezy krychle rovinou. Pokud pro konstrukci potřebujeme sestrojit pomocnou rovinu, za niž se u řezů krychle volí nejčastěji rovina svislá, kolmá k rovině stěny podstavy (která stěna krychle je stěnou podstavy?), použijeme prostě rovinu rovnoběžnou s hranou rovnoběžnostěnu. Navíc tím dostává smysl mluvit o stopě roviny již zde, ještě před konstrukcí rovinných řezů jehlanu. Dále se tím vyhneme formulaci rovina kolmá k podstavě. Kolmost je v kosoúhlém promítání obtížně sestrojitelná a ověřitelná. Při konstrukci řezů krychle ve skutečnosti využíváme již zmíněné rovnoběžnosti svislé roviny s hranami tělesa, řešíme tedy speciální případ místo obecného, ale pomocí metod případu obecného.

Můžeme také sestavit speciální modely k procvičení dílčích úloh. V modelech primka0primka2 je zadání a řešení úlohy, v níž hledáme body dané přímky (strany řezu) ve stěnách tělesa.

Poté již můžeme zobrazovat i rovinné řezy obecných hranolů. Můžeme se k nim také vrátit po řezech jehlanů, jako k rozšiřujícímu a shrnujícímu tématu. Pokud chceme vytvořit zadání pro nekonvexní hranol a chceme využít kontroly řešení nástrojem Oříznout mnohostěn, musíme ho složit z několika (obvykle dvou) konvexních, jako v modelu nekonhr.

3.4.2  Řezy jehlanu

Obecný model jehlrez pro demonstraci rovinného řezu jehlanu má podobné vlastnosti jako výše uvedené dynamické modely.


Figure 3.20: Řez jehlanu

Figure 3.21: Postup konstrukce


Kolineace

Setkáváme se však nově s příbuzností v prostoru, která se nazývá kolineace a která se promítá do kolineace v rovině. Pro nás ale bude toto zobrazení cenné prostorovými vztahy. K demonstraci vlastností kolineace, zejména objasnění pojmu stopa roviny řezu, pomohou modely kolrez1kolrez2 (obrázky 3.203.21), v nichž použijeme otočnou rovinu řezu. Jako přímku, která je určujícím prvkem roviny řezu, použijeme rovnou její stopu. Není příliš přehledné demonstrovat vlastnosti kolineace podstavná hrana stěny a přímka procházející hranou řezu v této stěně jsou buď rovnoběžné, nebo se protínají na stopě roviny řezu tak, že sestrojíme všechny přímky podstavných hran a hran řezu na tělese, pravidlo spíše demonstrujeme na dvojici jedné při dynamické změně polohy vrcholů podstavy.


Figure 3.22: Zadání řezu

Figure 3.23: Řešení úlohy


Procvičování konstrukce řezů jehlanu rovinou probíhá obvykle rýsováním na papír – tam se plně projeví schopnost aplikovat osvojenou abstrakci. Rýsovat můžeme i v interaktivním modelu, jak jsme již zmínili v předchozím textu. Přikládáme sadu modelů – prototyp pro konstrukci řezu jehlanu rovinou. V modelu jehlprot je pouhé zadání roviny řezu trojicí bodů K, L, M, přičemž bod M je možné díky jeho umístění na površce VM1 jehlanu zadat ve stěně. Nástrojem Předefinovat můžeme zadání libovolně modifikovat. Model jehlpro1 obsahuje předpokládaný začátek konstrukce (ukázka, jak podle naší představy může žák s modelem pracovat) a model jehlpro2 výsledek, který je určený spíše k demonstraci správnosti řešení. Z úvodního modelu či z modelu se žákovským řešením jej dostaneme postupným použitím nástrojů Rovina, Průsečnice a Oříznout mnohostěn. Postup vidíte na obrázcích 3.223.23. Jinou možností je nechat žáka pracovat přímo s modelem jehlpro2, v němž výsledný řez i stopu roviny řezu skryjeme. To, zda je případné objevení a zobrazení skrytého řešení žákem přijatelné, musíme posoudit podle cíle žákovské aktivity. Stejně tak předem posoudíme, zda v systému předem skryjeme některé nástroje. Model jehlpro0 obsahuje čisté zadání a jsou v něm skryté všechny nepotřebné a nápovědné nástroje. List s připraveným dynamickým modelem můžeme také kdykoliv vytisknout pro ruční rýsování.

Afinita

Po procvičení rovinných řezů jehlanu můžeme sestrojit několik řezů hranolu využitím obdobného zobrazení – prostorové afinity. Pokud jsme dříve sestrojovali řezy obecných rovnoběžnostěnů, zobecníme teď uvedený postup. Zobrazení pak není třeba příliš vysvětlovat, rozdíl mezi afinitou a kolineací je intuitivní – je dán typem mnohostěnu, na němž sestrojujeme řez. Chceme-li se odkázat na deskriptivní geometrii, můžeme zobrazení pojmenovat a uvést jeho definici. Pro stereometrické konstrukce to však třeba není. (modely nekonhr, rezhran60, rezhran6, afrez. obr. 3.24, 3.25)


Figure 3.24: Řez krychle

Figure 3.25: Řez hranolu


3.4.3  Průnik přímky tělesem

Při modelování zadání, v němž jsou stěny tělesa neprůhledné, je řešení vidět okamžitě (model prrov0). Pokud se rozhodneme modelovat řešení na drátěném tělese (model prrov1), máme k dispozici všechny dříve uvedené nástroje s tím, že bychom měli volit pomocnou řezovou rovinu ne libovolně (jak to systém umožňuje), ale rovnoběžně s hranami tělesa. Žáky můžeme donutit k takovému řešení tím, že skryjeme nástroj Rovina (model prrov2).

3.5  Tělesa II (koule, kužele a válce a plochy)

Modely oblých těles (rotačních i kosých) se svým pojetím liší od modelů mnohostěnů a nástroje mohou uživatele zpočátku trochu mást. Jak již bylo zmíněno, jde o plochy, nikoliv tělesa – a to plochy buď omezené (kulová plocha, válec či kužel dané výšky) nebo nekonečné, které se zobrazují pouze ve vymezeném pohledovém objemu. Stejně se zobrazují i plochy rovina a polorovina. Omezení na pohledový objem může vést k tomu, že např. rovina řezu nedosáhne na těleso (viz obr. 2.4). Je to pouze zdánlivý jev. Ve skutečnosti systém počítá s plochami nekonečnými a v nich konstruuje výsledné objekty. Chceme-li zadat bod na nekonečné válcové ploše, v rovině atd. mimo zmíněný výřez, zadáme jej na zobrazené části plochy a pomocí myši přesuneme do požadované polohy na ploše v její nezobrazené části.

Plochy není možné uzavřít, neexistuje plocha kruh ani vnitřek elipsy. Není možné je seříznout rovinou (na ploše se vytvoří kuželosečka řezu, ale plocha se neořízne) ani provádět průniky či vytvářet otvory.

Není možné (zatím?) ani sestrojit průnikové křivky kvadrik, k dispozici jsou pouze křivky, které jsou podle typu průniku křivkami druhého stupně, tedy řezy kvadrik rovinou a průnik kulových ploch. Například průsečnici kulové a kuželové plochy systém nesestrojí ani tehdy, je-li to kružnice (např. pro ilustraci stereografické projekce).

Modelovat můžeme válce a kužely s kruhovou a eliptickou podstavnou hranou. To nám umožní modelovat a ilustrovat plochy a tělesa, která žáci dosud neznali či neuměli pojmenovat. Žáci totiž chápou pod pojmy válec a kužel téměř výhradně rotační tělesa. Učebnice stereometrie obvykle ani jiná než rotační tělesa nezmiňují. Rotační tělesa a plochy mají široké uplatnění v technické praxi a vídáme je v předmětech kolem nás. To jistě dává důvod zabývat se jimi důkladněji. Nezmínit ostatní tělesa a plochy však považujeme za chybu.

Úloha 1   Modelujte rotační kužel, rotační válec, kosý kužel, kosý válec. (model kuzvalkr, obr. 3.26)
Úloha 2   Modelujte kužel a válec s eliptickou podstavou. (model kuzvalel)

Poznámka: Uvedená tělesa jsou vždy omezena částí nějaké obecné kruhové kuželové/válcové plochy (a rovinami). (model kuzvalel1, obr. 3.27)


Figure 3.26: Rotační a kosé plochy

Figure 3.27: Obecné plochy


Model dvavalce ilustruje rozdíl mezi rotační a nerotační válcovou plochou. Problém, který často vede k nedorozumění, je v tom, že na téže kuželové či válcové ploše existují eliptické i kružnicové řezy. U rotační válcové a kuželové plochy je řez plochy rovinou kolmou k ose kružnice.


I s omezenými modelovacími možnostmi můžeme ve scéně znázornit důležité vztahy. Žáci často chybují ve zcela jednoduchých úvahách. Můžeme znázornit části těles – ne sice jako samostatná tělesa, ale tím, že je opticky omezíme. Navíc tak lépe vynikne jejich konstrukce. Model koulec ilustruje části koule (kulovou vrstvu, úseč a výseč). Snadno sestrojíme model, kde lze demonstrovat rovinné řezy kulové plochy – kružnice.

Jiné plochy přímo modelovat není možné. V systému chybí možnost sestrojit například komolý kužel, protože zmíněné plochy není možné seříznout rovinou. Chceme-li ilustrovat další plochy, můžeme využít nástroj, který sice neposkytuje výsledné útvary jako celistvé plochy ani nedovolí použít je k dalším konstrukcím, ale umožní je přibližně zobrazit. Jde o nástroj Stopa. Nástroj Množina, který známe z Cabri Plus zde není. Nástroj Stopa vytvoří množinu postupně vykreslovaných poloh pohybujícího se sledovaného objektu. Stopa je limitovaná maximálním počtem vykreslených exemplářů, po jeho vyčerpání se nejstarší polohy odmazávají. I tak nám ale pomůže zejména při ilustraci kinematicky vytvořených ploch či – pro pokročilejší výklad – jednoparametrických systémů (nejčastěji křivek). Následující příklady využívají tohoto nástroje.

Úloha 3   Modelujte hyperbolický kužel (tedy plášť kužele, jehož podstavnou hranou je hyperbola) a hyperbolický válec. (modely kuzhyp, valhyp)

Poznámka: Přímý nástroj pro konstrukci kužele a válce, který je součástí Cabri 3D, nefunguje, je-li podstava nekovexní či otevřená. Stejně musíme sestrojovat také parabolickou válcovou či kuželovou plochu.

Úloha 4   Modelujte komolý kužel. (modely kuzkomr, kuzkomk)
Úloha 5   Modelujte seříznutý kužel a válec. (model kuzvalre)

Stačí malá úprava modelu a dostáváme nové, neznámé plochy. Například rotační jednodílný hyperboloid – plochu vzniklou rotací přímky kolem mimoběžné osy. Zde modelujeme pouze část plochy vzniklou rotací úsečky. Uvedený příklad je velice atraktivní, odhaluje netušenou skutečnost, že plocha vzniklá rotací hyperboly může být přímková. V modelu můžeme navíc pomocí změny polohy bodu úsečky odhalit vztah rotační kuželové plochy a jednodílného rotačního hyperboloidu. Dobře také vidíme význam pojmu hrdlová kružnice. Ve školách ještě můžeme najít starší velice názorné gumičkové modely této plochy či otáčivý model, který ukazuje, jak přímka plochy prochází hyperbolickou branou – otvorem v pevné stěně. Napodobeninou uvedených pevných (ale pohyblivých) modelů jsou naše modely hyperb2hyperb3. Zejména druhý z nich se však původnímu pevnému modelu nevyrovná.

Úloha 6   Modelujte rotační jednodílný hyperboloid jako přímkovou plochu, která vznikne rotací přímky kolem mimoběžné osy. (model rothyppr, hyperb1hyperb3 či zcela jednoduchý model vez, obrázky 3.28, 3.29)

Figure 3.28: Rotační jednodílný hyperboloid (část)

Figure 3.29: Rotační kuželová plocha (část)

Figure 3.30: Anuloid


Rotační dvoudílný hyperboloid již přímková plocha není. Špatně se modeluje, protože nemůžeme omezit část hyperbolického oblouku.

Úloha 7   Modelujte dvoudílný rotační hyperboloid. (model rothyp2)

Podobně můžeme ilustrovat další rotační kvadriky. Podrobněji se o nich zmíníme v Kapitole 6.

Úloha 8   Modelujte rotační elipsoid zploštělý a protáhlý a rotační paraboloid. (modely kvadriky0kvadriky2)

Poznámka: Určete, který z rotačních elipsoidů je množinou bodů v prostoru, které mají od dvou pevných bodů konstantní součet vzdáleností.

Úloha 9   Rotací kružnice kolem přímky ležící v rovině kružnice modelujte anuloid. (model anuloid, obrázek 3.30)

Podobným principem – vykreslováním jednotlivých poloh pohybujícího se objektu – jsme v části 3.3.5 modelovali rozvinuté pláště takových rozvinutelných ploch, které dokážeme dobře aproximovat posloupností navazujících rovinných n-úhelníků. Zejména tedy pláště kužele a válce, a to včetně seříznutých těles.

3.6  Kuželosečky, tečny a tečné roviny

Z planimetrie žáci mohou znát rovinnou ohniskovou definici kuželoseček. Dynamický model může ukázat vznik kuželoseček odpovídající jejich názvu – jsou rovinnými řezy kvadrik, podle možností systému tedy řezy kuželové a válcové plochy. Cabri 3D rozliší i singulární kuželosečky, tedy dvojnásobnou přímku a dvojice přímek – model singkuz. Je možné sestrojit i řezy nerotačních těles (ploch), a tak ještě názorněji ukázat podmínky pro to, aby řezem kuželové plochy byla kružnice, elipsa, parabola, hyperbola či singulární kuželosečka. Při přibližném modelování se však do speciálních poloh řezu obvykle netrefíme a je třeba je modelovat cíleně. Model kuzelos s klasifikací kuželoseček dovoluje měnit řez pomocí otočné roviny.

Úloha 1   Modelujte osový řez rotačního kužele a rotačního válce (rotační kuželové a válcové plochy) a hlavní kružnice kulové plochy.
Úloha 2   Modelujte různé rovinné řezy rotační válcové plochy. Pojmenujte vzniklé křivky či útvary.

Model nám dovolí ukázat vlastnosti tečen a tečných rovin, které se na pevných modelech obtížně modelují. Tečná rovina se dotýká válcové a kuželové plochy podél přímky (dvojnásobná přímka – singulární kuželosečka). Každou rovinu řezu protíná tato tečná rovina v tečně ke kuželosečce řezu (a tedy rovinu podstavy v tečně k podstavné kuželosečce). Podle toho ji můžeme sestrojit. Následující úlohy bychom mohli zařadit i do Kapitoly 4.

Úloha 3   Sestrojte tečnou rovinu rotační válcové a rotační kuželové plochy, která prochází daným bodem P. Řešte zvlášť pro bod P na ploše a bod P vně plochy. (modely s řešením tecrov01 – bod vně válcové plochy, tecrov03, tecrov04 – bod na kuželové ploše a vně kuželové plochy)
Úloha 4   Sestrojte tečnou rovinu rotační válcové a rotační kuželové plochy rovnoběžnou s danou přímkou a. (modely s řešením tecrov02 – válcová plocha, tecrov05 – kuželová plocha)
Úloha 5   Sestrojte tečnou rovinu v daném bodě válcové a kuželové (nerotační, kosé) plochy. Plocha je určena danou kružnicí podstavné hrany a směrem hran (vrcholem). Sestrojte tečnu k řezu této plochy obecnou rovinou. (model tecrov)

Tečná rovina kulové plochy v bodě T plochy je kolmá na poloměr ST. Leží v ní tečny všech hlavních kružnic kulové plochy procházejících bodem T.

Úloha 6   Sestrojte tečnou rovinu v daném bodě kulové plochy. Sestrojte nějakou hlavní kružnici plochy a její tečnu. (model tecrovkp)
Úloha 7   Sestrojte tečnou rovinu dané kulové plochy, která prochází danou přímkou, která nemá s plochou žádný společný bod. (model s řešením tecrovkp1)

Na oficiálním webu Cabri najdeme mezi spoustou jiných velice pečlivě zpracovaných modelů vztahujících se k uvedenému tématu i demonstraci Quètelet-Dandelinovy věty.

3.7  Objemy a povrchy těles

Klasické úlohy na výpočet obsahů ploch (povrchů těles) a objemů těles předpokládají a procvičují schopnost zvolit správné těleso a vypočítat v něm z daných údajů ty, které potřebujeme pro výpočet požadovaného objemu či povrchu (většinou) pomocí vzorce (například úlohy v [30] či [22]). Dynamický model nám dovolí modelovat a změřit potřebné délky (byť to nemusí být vždy žádoucí). Pomocí nástroje kalkulačka můžeme pro údaje naměřené a zobrazené v modelu pomocí nástrojů Vzdálenost, Délka, obvod či Velikost úhlu sestavit výraz odpovídající vzorci a vyčíslit ho. Výsledek můžeme porovnat s hodnotou, kterou umí Cabri 3D přímo ukázat některým z dalších měřících nástrojů (Obsah, Objem). To by mohla být užitečná žákovská pomůcka pro kontrolu správnosti řešení úloh.

Za důležitější však považujeme pochopení vztahů mezi naměřenými veličinami (nebo veličinami spočtenými pomocí náčrtu a vlastností trojúhelníku) a výsledkem. Mezi tyto důležité vztahy patří pochopení vzorce a schopnost rozměrové kontroly výpočtu, vliv jednotlivých veličin na výsledek a Cavalieriho princip. Nejúčinnější bývají zcela jednoduché modely, které sice neobsahují důkaz, ale předkládané tvrzení srozumitelně zobrazují pro nějakou množinu objektů. Takovou ilustraci poskytují například následující modely:

jehlan3 – rozklad hranolu (i kosého) na tři jehlany s navzájem shodnými objemy (ilustrace vzorce pro výpočet objemu jehlanu)
objemy – objemy jehlanů a kuželů, kde jednak pohybujeme vrcholem rovnoběžně s podstavou a jednak samostatně měníme výšku, slouží jako přehledná ilustrace vzorce pro výpočet objemu hranolu a jehlanu
objemyhr – objemy hranolů a válců, podobně jako předchozí příklad a navíc porovnáme objemy jehlanu a hranolu a objemy kužele a válce
objpldel – vliv podobnosti na objemy, povrchy a délky a vzájemný vztah délek, obsahů a objemů (rotační kužel).

Prostorový model může pomoci odhalit a vysvětlit některé časté chyby žáků. Na otázku v úloze 1 odpoví obvykle žáci chybně a modely objhom1objhom2 (obr. 3.31, 3.32) ukáží, kde je chyba v úvaze:


Figure 3.31: Objemy čtyřstěnů

Figure 3.32: Správná odpověď 1


Úloha 1   Rovina BDE vytíná z hranolu ABCDEFGH čtyřstěn ABDE. Objem tohoto čtyřstěnu je V. Určete objem čtyřstěnu ABDE, který z celého kvadrantu vytíná rovina rovnoběžná s rovinou BDE, která prochází vrcholem G kvádru.

Poznámka 1: Nejčastější žákovské odpovědi bývají 2V nebo 8V.

Poznámka 2: Modely navíc ukáží, že roviny kolmé k tělesové úhlopříčce AG, které procházejí vrcholy E, H, ji protínají v jejích třetinách. (modely sady objhom)


K objemům a povrchům těles se v matematice vracíme později mimo kapitolu Stereometrie například úlohami o extrémech funkcí. Při řešení slovních úloh vedoucích na vyšetřování extrémů funkce metodami diferenciálního počtu často narazíme – a to častěji než na problémy plynoucí z nepochopení principů a metod diferenciálního počtu – na problém nepochopení daného reálného problému. Jde-li o problém prostorový, platí to tím více. Takový problém těžko demonstrujeme na reálném modelu (aby bylo možné reálně sledovat vliv změny parametrů, musel by být model dostatečně variabilní a modifikovatelný) a zpravidla ho ilustrujeme náčrtem. Vyhotovení vhodného náčrtu už ale předpokládá pochopení problému – musíme předem vědět, jaké vztahy je třeba v náčrtu zobrazit. Pokud žáci nezískají s řešením takových úloh dostatek zkušeností (a na to obvykle není dost času), zůstávají tyto úlohy obtížně řešitelné. Prostorový virtuální model nám pomůže při:

objasnění zadání úlohy
vytvoření představy o vzájemné poloze těles a prostorových objektů
objasnění konstrukce požadovaného objektu
nalezení potřebných vztahů mezi rozměry objektů
vizuálním ověření výsledku.


Možnosti dynamické geometrie pak navíc umožní názorný přechod od řešení úloh s pevnými hodnotami parametrů k úlohám zadaným obecně, k objasnění vzájemné polohy zkoumaných objektů a ověření výsledku obecně zadané úlohy při plynulé změně parametrů. V následujících čtyřech úlohách citujeme znění úloh z [21] a zmíníme případná úskalí zobecnění úlohy. K nim příslušné modely, jejichž název končí znakem 1, obsahují konstrukci vepsaného tělesa, v modelech s koncovým znakem 2 a 3 jsou připraveny osové řezy včetně značení pro výpočet. Ve škole řeší žáci první tři úlohy nejspíš bez potřeby prostorového modelu s pomocí rovinné skici.

Příklad 2   Do koule o poloměru 3 cm vepište rotační kužel maximálního objemu. Určete poloměr podstavy a výšku kužele. (obr. 3.333.35)

Řešení: Tato úloha patří k těm snazším, řešení přesto vyžaduje několik úvah:

Co je to vepsaný kužel (do koule)?
Jak nějaký sestrojit?
Jak najít vztah mezi rozměry kužele a koule?

Postup řešení a získaný výsledek může nastolit otázku možnosti obecného řešení, neboli Proč je poloměr koule právě 3 cm a je to pro postup řešení úlohy důležité? Prostorový model může pomoci odpovědět na výše uvedené otázky, po nalezení potřebných vztahů lze konstatovat, že úlohu můžeme bez omezení řešit pro obecný poloměr koule. Jedno možné odvození a potřebné vztahy k nalezení požadovaného extrému (bez precizního ověření existence extrému) uvádíme.


Figure 3.33: Příklad 2 – pohled

Figure 3.34: Osový řez

Figure 3.35: Rozměry těles v nárysu


Zkoumaný objem kužele o výšce v, poloměru podstavy ρ vyjádříme pomocí známého vzorce

V=
1
3
πρ2v

přičemž je-li kužel vepsán do kulové plochy o poloměru r a vzdálenost jeho podstavy od středu plochy je x, je ρ2+x2=r2 a v=r+x, (obr. 3.35) proto

V=
1
3
π(r2x2)(r+x)=
π
3
(r3+r2xrx2x3).

Vyjádřili jsme objem kužele v závislosti na vzdálenosti jeho podstavy od středu kulové plochy. Hledáme extrém funkce V(x) na intervalu ⟨−r;r ⟩. Vyjádříme první derivaci funkce V(x):

V′(x)=
π
3
(r2−2rx−3x2)

a odtud

 V′(x)=0 ⇔ x=
r
3
∨ x=−r   .

Po ověření extrému objemu pro x=r/3 (pro x=−r dostáváme úsečku) dostaneme pro daný poloměr r=3 rozměry kužele v=4, ρ=2√2 (v centimetrech). Model kuzelin2 pomůže opticky ověřit, je-li nalezený extrém opravdu požadovaným výsledkem úlohy.

Úloha 3   Kouli o poloměru 3 cm opište rotační kužel minimálního objemu. Určete poloměr podstavy a výšku kužele.

Obtížnost řešení úlohy je srovnatelná s předchozí úlohou. Modelem můžeme demonstrovat, proč hledáme minimum, nikoliv maximum, jako v předchozí úloze. Někteří žáci však mohou mít problém s konstrukcí opsaného kužele (modely koulein1–koulein3). I tato úloha umožňuje obecnou formulaci, na poloměru koule nezáleží.

Úloha 4   Do rotačního kužele o poloměru podstavy r = 6 cm a výšce v = 3 cm vepište rotační válec maximálního objemu tak, aby osa válce splývala s osou kužele. Určete rozměry válce.

Po předchozích úlohách nejspíš nebude pro žáky obtížné představit si polohu válce v kuželi a nalézt potřebné vztahy mezi rozměry válce a kužele. Pro samotné řešení možná nebudeme trojrozměrný model potřebovat. Ale dynamický model valecin1 i zde ukáže hledaný extrém i to, že úlohu je možné formulovat obecně, pro kužel o poloměru podstavy r a výšku v. Úlohu modelu však oceníme v následující úloze.

Příklad 5   Do rotačního kužele o poloměru podstavy r = 6 cm a výšce v=3 cm vepište válec maximálního objemu tak, aby osa válce byla kolmá na osu kužele. Určete rozměry válce.

Figure 3.36: Příklad 5 – pohled

Figure 3.37: Rozměry


Řešení: Odvozené vzájemné vztahy mezi rozměry kužele a válce budou velmi podobné těm z předchozí úlohy, pro jejich obměnu bychom možná model nepotřebovali ani zde. Tato úloha však vyžaduje ujasnit formulaci vepište válec. I zde je míněn rotační válec, ale ani tak nemusí být prostorová situace zcela zřejmá. (model valhor1, obr. 3.36, 3.37)

Na první pohled není vidět, proč bychom i tuto úlohu nemohli řešit pro parametricky zadané rozměry kužele. Zkusme tedy při výpočtu místo s konkrétními rozměry počítat obecně s poloměrem r a výškou v kužele.

Má-li vepsaný válec výšku h a poloměr podstavy ρ a daný kužel výšku v a poloměr podstavy r, pak z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků plyne

v
r
=
r
h
2
 . 

Proto pro objem válce při označení d=2ρ, x=h/2 platí

V=
π
2
d2x=
π
2



rx
r



2



 
v2x=
π v2
r2

rx
2x

a odtud po výpočtu

V′(x)=0⇔ r2−4rx+3x2=0 , 
x=r ∨ x=
r
3
 .  

Protože x=r dává nulový objem, ověříme jen, že extrém pro x=r/3 je maximem a největší objem má válec o rozměrech h=2r/3, ρ=v/3.

Poznámka: Výpočet extrému funkce V(d) by byl stručnější.

Při daných rozměrech snadno ověříme získaný výsledek h=4, ρ=1. Při manipulaci s modelem však objevíme (model valhorch), že válec požadovaných parametrů nemusí být pro obecné parametry r a v do kužele vepsán, ale může kužel protínat! Jinak řečeno, při řešení slovní úlohy vedoucí na extrém funkce musíme vymezit obor proměnné, ale ne podle rovinného náčrtu řezu osovou rovinou, ale podle vzájemné polohy zmíněných těles.


Figure 3.38: Chyba

Figure 3.39: Oskulační         kružnice hyperboly řezu

Figure 3.40: Náhled


Vyvstává tedy otázka, kdy (pro jaké rozměry kužele) bude výše spočtené obecné řešení skutečně hledaným extrémem a kdy bude extrém funkce v krajním bodě intervalu vymezujícího definiční obor, protože poloha bodu, v němž existuje nulová derivace funkce padne mimo definiční obor zkoumané proměnné. Bohužel, odpověď není zcela snadná a souvisí s výpočtem poloměru oskulační kružnice ve vrcholu hyperboly (model valhoroh). Tato znalost nepatří do povinného učiva, ale zde řešení uvedeme:


Figure 3.41: Poloměr oskulační kružnice hyperboly řezu


Podstava válce kužel neprotíná tehdy, je-li její poloměr nejvýše roven poloměru oskulační kružnice ve vrcholu hyperboly, která je řezem kužele rovinou podstavy válce. Spočtěme poloměr oskulační kružnice hyperboly, která je řezem kužele uvedených rozměrů rovinou rovnoběžnou s osou kužele vedenou ve vzdálenosti x od této osy. Asymptoty této hyperboly jsou rovnoběžné s příslušným osovým řezem kužele. Proto pro velikosti její hlavní osy a a vedlejší osy b platí:

r
v
=
b
a
  ∧   b=x  tudíž    ax 
v
r
 . 

Pro poloměr ω oskulační kružnice hyperboly v jejím vrcholu platí

ω=
b2
a
b 
b
a
=x 
r
v
 . 

Z uvedeného vztahu mimo jiné vyplývá, že poloměr oskulační kružnice se zvětšuje se vzdáleností roviny řezu od osy kužele a hyperbola se rozevírá. Víme, že pokud se od osy vzdaluje rovina podstavy vepsaného válce, poloměr jeho podstavy se zmenšuje.

Oskulační kružnice se dotýká podstavy kužele právě tehdy, když 2ω=va, odkud dostáváme:

x·2 
r
v
=vx 
v
r
 

a po úpravě na tvar x(2r2+v2)=v2r dostaneme podmínku

x=
rv2
2r2+v2
 . 

Předchozím výpočtem získaná hodnota extrému je tedy zároveň požadovaným maximem právě tehdy, pokud poloměr oskulační kružnice hyperboly řezu kužele rovinou podstavy vepsaného válce je větší nebo roven poloměru této podstavy, tj. ω≥ρ, tudíž pro válce, pro něž má jejich podstavná rovina od osy vzdálenost větší nebo rovnu spočtenému extrému,

h
2
=
r
3
≥ 
rv2
2r2+v2
 , 

odkud

r≥ v .

Jinak podstavná kružnice válce kužel protíná.

3.8  Zobrazení

Kapitoly, které se věnují studiu vlastností zobrazení v prostoru, bývají v učebnicích zařazovány na samý závěr tématu, mnohdy se kapitola Zobrazení v prostoru neprobírá vůbec. Důvodem je – kromě nedostatku času – problematická možnost zobrazení výsledných útvarů. Můžeme hledat shodné a podobné prvky na architektonických objektech a různé symetrie kolem nás ve městě a v přírodě. Jde většinou – pokud vůbec – o pozorování, přemisťování objektů už bývá komplikovanější. Je vhodné připomenout pohyb v prostoru, obrábění, šroubování.

Intuitivně však shodná zobrazení žáci chápou – viz výše zmíněné aktivity. A při konstrukci útvarů v systému dynamické geometrie používáme zobrazení jako běžný konstrukční nástroj (horní podstava hranolu vznikne posunutím dolní podstavy, sedačky na kolotoči modelujeme tak, že vytvoříme jednu a kopírujeme ji otočením okolo osy kolotoče, …).

Pokud jsme modelovali obrazy útvarů, osvědčilo se nám zobrazovat nekonvexní mnohostěny a kužely. Zároveň se ukázalo didakticky účinným naznačit spojnice (či oblouky – trajektorie pohybu) vzoru a obrazu bodu a tím zvýraznit vlastnosti zobrazení.

Zajímavé je modelovat skládání zobrazení. Ne proto, abychom odvozovali vlastnosti složených zobrazení, ale pro cvičení prostorové představivosti – jednak vědomí vzájemné polohy útvarů v prostoru, jednak kinematické představivosti (zejména pro otáčení).

3.8.1  Shodná zobrazení v prostoru

Prostředí Cabri 3D obsahuje přímé nástroje pro konstrukci útvaru, který je obrazem daného útvaru v posunutí, rovinové souměrnosti (model hranrov), středové souměrnosti (model hranstr), osové souměrnosti (model hranosa) a otočení kolem přímky (model hranotoc). V modelech můžeme měnit vzor (žluté těleso) pohybem vrcholů jeho podstavy a měnit polohu středu či osy otáčení a souměrnosti a bodů určujících rovinu souměrnosti.

Obdobně jako v případě rovinných shodných zobrazení můžeme výše jmenovaná shodná zobrazení vytvořit složením několika rovinových souměrností (základní nepřímo shodné zobrazení) – posunutí, otáčení a osovou souměrnost ze dvou (jde tudíž o zobrazení přímo shodná), středovou souměrnost ze tří (zobrazení nepřímo shodné, složené za tří rovinných souměrností s navzájem kolmými rovinami souměrnosti).

Úloha 1   Vymodelujte pomocí stejných sítí tělesa dvě tělesa nepřímo shodná.

Přímá konstrukce shodného útvaru je snadná, sledovali jsme proto spíše představy žáků o tvaru a poloze obrazu daného útvaru (nejčastěji tělesa). Představa byla snadná pro rovinovou souměrnost a středovou souměrnost. Pokud si žáci měli představit otočení okolo přímky, neměli problémy tehdy, pokud byla osa otáčení v nějaké obvyklé poloze, typicky rovnoběžná s některou souřadnicovou osou nebo souřadnicovou rovinou. Pro tyto polohy osy si žáci většinou uměli představit i osovou souměrnost (nebylo zcela zřejmé, zda mají přímou představu, nebo zda chápali osovou souměrnost jako otočení o 180°). Nejproblematičtější byla představa obrazu útvaru v osové souměrnosti, pokud byla osa v obecné poloze. Pro vytvoření představy bylo důležité, aby scéna nebyla prázdná. Přítomnost dalších útvarů umožnila lepší představu o poloze osy v prostoru.

Úloha 2   Sestrojte postupně tři obrazy pravotočivého šroubu (části závitu) v rovinové souměrnosti s rovinou souměrnosti α, v osové souměrnosti s osou o a ve středové souměrnosti se středem S. Kdy dostáváte pravotočivý a kdy levotočivý šroub? (modely rovinna, osova, stredova)

Zajímavé je modelovat skládání několika otáčení. Takové úlohy bývají často součástí testů prostorové představivosti a jeden takový generátor úloh najdete v Kapitole 7.

Úloha 3   Modelujte šroubový pohyb tělesa. (model srpohyb)
Úloha 4   Najděte nějaké (všechna) zobrazení, které převádí jednu stěnu pravidelného čtyřstěnu v druhou. Modifikujte úlohu pro vhodně zvolené dvojice stěn jiných pravidelných a polopravidelných mnohostěnů.

Prostorovou analogií známých rovinných úloh o nejkratší cestě je následující úloha, v níž využijeme otáčení:

Úloha 5   V rovině α je dán bod A, v různoběžné rovině β bod B. Najděte nejkratší lomenou čáru z A do B, jejíž úsečky leží v rovinách α, β. (model s řešením cesta)

3.8.2  Podobnost a podobná zobrazení v prostoru

Jediným podobným zobrazením, se kterým se ve škole žáci setkají ve stručné poznámce, je prostorová stejnolehlost. Představa této prostorové analogie stejnolehlosti v rovině žákům obvykle nečiní větší problémy. Její princip ukazuje model stejnol (obr. 3.423.43). Její konstrukční využití je podobné jako v případě stejnolehlosti rovinné.


Figure 3.42: k<0

Figure 3.43: 1>k>0


Úloha 6   Co je množinou všech bodů v prostoru, kterou tvoří středy S všech úseček, jejichž jedním krajním bodem je daný bod M a druhý krajní bod K je bodem dané kulové plochy κ? Jakou množinu vyplní body X, které dělí úsečku KM v daném poměru (např. 2 : 3)? (obr. 3.44, modely stejnkulstejnkul2, kde M dělí úsečku XN)
Úloha 7   Jsou dány různoběžné roviny α, β a bod M. Najděte všechny úsečky, které mají jeden koncový bod v rovině α, druhý v rovině β a jsou bodem M děleny v poměru 2 : 3. (model prickar)

Poznámka: Pro různoběžné roviny leží koncové body hledaných úseček na rovnoběžných přímkách – model prickar, obr. 3.45. Úlohu řešte i pro rovnoběžné roviny.


Figure 3.44: K úloze 6

Figure 3.45: Řešení úlohy 7


Příklad 8   Uvnitř čtyřstěnu je dán bod M. Najděte všechny příčky, které mají koncové body na povrchu daného čtyřstěnu a které jsou bodem M děleny v poměru 2 : 3. (model prickac)

Řešení: Úlohu 7 i tento příklad řešíme stejně. Použijeme týž postup jako u analogických úloh v rovině. K nalezení úseček využijeme prostorové stejnolehlosti se středem M a koeficientem k=−2/3 (nebo k=−3/2 a získáme druhé koncové body těchže úseček), v níž zobrazíme nástrojem dynamické geometrie daný čtyřstěn.

Model prickac prozradí jeden technický problém, o němž jsme se dosud nezmínili: Cabri 3D nemá nástroj k sestrojení průniku povrchů mnohostěnů. Průnik musíme sestrojovat postupně stěnu po stěně a při změně zadání se může průnik rozpadnout. Navíc je model pro velký počet čar a překrývajících se ploch již dost nepřehledný. Lépe dopadneme pouze v případě, že zadaným tělesem bude koule. Průsečnici dvou kulových ploch Cabri 3D sestrojí.


Důležitá poznámka týkající se vlastností podobnosti byla zmíněna již v části věnované objemům a povrchům těles. Jsou-li dvě tělesa podobná v podobnosti s koeficientem k, je poměr délek úseček odpovídajících si v této podobnosti k, poměr odpovídajících si ploch k2 a poměr odpovídajících si objemů k3 (model pomery).

3.8.3  Kulová inverze

Školská geometrie se zabývá pouze shodnými a podobnými zobrazeními. Kruhová inverze v rovině ani její prostorová analogie – kulová inverze – nejsou součástí základního kurzu geometrie. Proto se těmto užitečným zobrazením věnujeme více až v Kapitole 6, kde ji využijeme v konstrukčních úlohách. Zde v modelu inverze uvádíme pouze ilustraci vlastností tohoto zobrazení, které je přímým nástrojem Cabri 3D.


1
Dovolíme si vložit jednu konkrétní užitečnou poznámku k práci s menu v systému Cabri 3D – z režimu práce ve scéně přejdeme klávesou Esc na nástroj Ukazovátko v panelu nástrojů. Jakmile v tomto panelu jsme, můžeme se v něm pohybovat – obdobně jako v menu jiných programů – kurzorovými klávesami: mezi sadami nástrojů přecházíme šipkami ←, → a mezi nástroji jedné sady (aniž bychom její menu svisle rozbalovali) šipkami ↑, ↓.

Previous Up Next