Zatímco většina žáků ve třídě bojuje s pochopením a použitím základních vzorců pro objemy a povrchy těles, nadanější či hbitější žáci nemusí být spokojeni se zásobou doplňujících úloh a počítání je přestane bavit. Mohli bychom je tedy nechat objevovat vztahy či vzorce, které v učebnici nejsou. Žáci by samozřejmě měli chápat fakt, že model dynamické geometrie není důkaz a ti nejnadanější by se o důkaz nalezených tvrzení měli alespoň pokusit, ale již proces objevování může zaujmout a motivovat.
Následující posloupnost úkolů a příkladů pomůže dovést žáky k odhalení dosud neznámých vzorců pro výpočet objemu.
Ilustrační modely k těmto úlohám – pulka, boxcut a pultroj je možné použít k objasnění problému společně.
Řešení: Úlohu neuvádíme jako příklad, přestože zde poskytneme správnou odpověď. K řešení této úlohy by mohlo žáky dovést vyřešení prvých tří úloh. Úloha je výrazně konstruktivisticky formulovaná. Pokud žáci tápou, můžeme jim pomoci modelem objemhr0, který ještě mnoho neprozrazuje a až později případně modelem objemhr1, který k řešení dává téměř úplnou nápovědu. Vlastní odpověď však nedává. Hledaný vzorec je V = PvT, kde vT je výška těžiště trojúhelníku řezu a P obsah trojúhelníku podstavy.
Řešení: Systematický důkaz tvrzení uvádí např. [14], my se pokusíme důkaz alespoň částečně ilustrovat pomocí dynamického modelu. Výpočtům se však v závěru nevyhneme. Model je dosti členitý a proto uvádíme ilustrační obrázky postupně. Sadu chronologicky očíslovaných ilustračních modelů najdete v samostatné složce tezobjem.
Podle Cavalieriho principu stačí vést důkaz pouze pro kolmý trojboký hranol. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že rovina řezu vede jedním z vrcholů dolní podstavy, přesněji stačí se zabývat pouze objemem tělesa, které má podstavu procházejícím nejnižším bodem řezu, rovnoběžnou a shodnou s původní podstavou (k objemu takové části hranolu pak snadno přičteme ještě objem spodní části – trojbokého hranolu).
Seřízneme-li trojboký hranol rovinou procházející jednou hranou podstavy, tedy tak, že vznikne trojboký jehlan (čtyřstěn), umíme jeho objem určit podle známého vzorce V = 1/3Pv = P vT, kde v je výška tělesa a P obsah trojúhelníku podstavy, 1/3v je přitom výška těžiště trojúhelníku řezu, kterou jsme výše označili vT. To nám říká, že jehlan má stejný objem jako hranol třetinové výšky. Proto jsou objemy zeleného a žlutého tělesa v pomocném modelu tezisteobjem2 stejné (obr. 6.1). Této skutečnosti využijeme při řešení naší úlohy.
Potřebujeme dokázat rovnost objemů zeleného jehlanu a mnohostěnu vyznačeného červeného barvou v modelu tezisteobjem3 (obr. 6.2), z výše zmíněné úvahy však vyplývá pouze rovnost zeleného a žlutého mnohostěnu z modelu tezisteobjem4. (obr. 6.3) V tomto modelu můžeme (posunutím bodu P) porovnat oba mnohostěny (žlutý i červený), určit jejich společné části a části další. Pokud se nám podaří dokázat, že tyto přebytečné části obou mnohostěnů mají týž objem, bude naše tvrzení dokázáno.
V modelech tezisteobjem5 a tezisteobjem6 jsou modře vyznačeny jehlany, které nejsou ve žlutém mnohostěnu a fialovým tečkováním naopak mnohostěn chybějící v červeném, vezmeme-li v potaz shodnost objemů hranolů z obou mnohostěnů, které jsou v modelech tezisteobjem6, tezisteobjem7 prázdné. Model tezisteobjem7 ukazuje části, jejichž objemy je třeba porovnat – jehlany označené modře (V2) a světle fialově (V3), a hranol označený fialovou barvou (V1) (obr. 6.4).
Další část důkazu už vyžaduje výpočet. Všechny zmíněné jehlany mají stejnou výšku. Dva z jehlanů jsou shodné (středově souměrné) a třetí má podstavu shodnou s podstavou hranolu. Navíc trojúhelníky podstav zmíněných těles mají stejnou výšku a proto poměr obsahů podstav P1, P2 je roven poměru délek l, k jejich podstavných hran. Podobně poměr obsahů hranolu a jehlanu o společné podstavě je určen, známe-li poměr jejich výšek v1, v2. Zmíněné poměry je možné najít z podobných trojúhelníků na základě výšek příslušných bodů v tělese.
Vlastní výpočet pak je krátký.
V obrázku 6.5 vidíme nárys prostorové situace z modelů. Označíme-li výšky bodů v modelu (a tím i výšky bodů na obr. 6.5) jako z-souřadnice bodů, platí pro ně:
| Cz = h, Bz=d, Az = 0, Tz= |
| = |
|
| Mz−Sz = |
| , Bz−Sz= |
| =v2, Tz−Sz=Tz− |
| = |
| =v1 |
Protože
| = |
| = |
| = |
| , |
platí:
| = |
| = |
| = |
|
| =1 . |
Přestože jsme v modelu našli tělesa, jejichž objemy je snadné určit pomocí známých vzorců, je výše uvedený postup spíše varováním před snahou používat systémy dynamické geometrie k demostraci ve členité scéně. Pokud odhlédneme od skutečnosti, že připravit přiměřeně přehledný model je pracné, sama orientace ve složité scéně ztrácí lehkost a přitažlivost a žáky spíše odradí než motivuje.
Talentovaným žákům můžeme předkládat k samostatnému řešení obtížnější úlohy než ty z podkapitoly 4.4. Pro inspiraci k hledání dalších množin bodů dané vlastnosti uvádíme několik námětů zde. Mnohé pro jejich obtížnost uvádíme ve formě řešených příkladů. Znovu připomínáme, že k důkazu správnosti je nutné dokázat (i když to v komentáři k úloze není výslovně uvedeno), že každý bod výsledného objektu požadovanou vlastnost má a žádný jiný bod prostoru, ji nemá.
Řešení: Spusťme z bodů A, B na rovinu ρ kolmice a jejich paty označme A1, B1. Mají-li se velikosti úhlů |∠ AXA1|, |∠ BXB1| rovnat, musí být pravoúhlé trojúhelníky AXA1 a BXB1 podobné. Proto |XA1|/|XB1|=|AA1|/|BB1|=konst. Hledanou množinou bodů je tedy příslušná Apolloniova kružnice v rovině ρ. Řešení ilustrují modely apolkr0–apolkr2 a obrázek 6.6. Viz také [13].
Poznámka 1: Sestrojte obě části řešení. Obrázek 6.7
Poznámka 2: Nezapomeňte na případ dvojice rovnoběžných rovin.
Figure 6.6: Příklad 1
Poznámka 1: Úkol je pokračováním Úlohy 2, kde jsme týž problém řešili pro danou dvojici rovnoběžných či různoběžných přímek. Řešení problému pro dvojici mimoběžek je velmi obtížné a vede k možná překvapivému výsledku: hledanou množinou je hyperbolický paraboloid.
Poznámka 2: Podívejte se nejprve na řešení Příkladu 3.
Řešení: Problému je věnována například práce [31], my si ukážeme jiné odvození. V modelech můžeme sledovat, že v různých rovinách tvoří body požadované vlastnosti různé křivky. Pokud netušíme, co je řešením úlohy, Cabri 3D nám moc možností nedává, není v něm totiž možné sestrojit průsečík dvou kuželoseček (elips), a už vůbec ne průsečnici dvou válcových ploch.
Uvedené modely jsou tudíž pouze demonstrační a křivky v nich byly zjištěny výpočtem a poté sestrojeny v modelu. Model hyppar1 ukazuje hyperboly v rovinách rovnoběžných s oběma mimoběžkami, model hyppar2 přímky v rovinách, které svírají s oběma přímkami stejný úhel a model hyppar3 paraboly v rovinách, které procházejí nejkratší příčkou obou mimoběžek.
K závěru, že se jedná o hyperbolický paraboloid můžeme dojít například pomocí metody souřadnic. Zvolíme-li soustavu souřadnic tak, že dané mimoběžky v ní budou mít pro nějaké k ∈ R a reálné parametry t, p parametrické vyjádření
|
a pro vzdálenost bodu X od přímky p použijeme vztah
| ⎪ ⎪ | Xp | ⎪ ⎪ | = |
| , kde p=P+t |
| , |
pak podmínka stejné vzdálenosti bodu X od obou přímek má tvar
|
Odtud plyne
|
a tedy
| z = Cxy , |
kde C je pevná reálná konstanta. Tento zápis připomíná (pro z = konst. z≠ 0 ) rovnici hyperboly v rovině. V kapitole analytická geometrie sice rovnice ploch v prostoru nezkoumáme, ale může nám pomoci nějaký algebraický systém, který je umí zobrazovat. Jde skutečně o rovnici hyperbolického paraboloidu a z uvedené rovnice můžeme zjistit, že jeho křivky v rovinách z = konst jsou hyperboly (obr. 6.8) a křivky v rovinách x = konst, y = konst jsou přímky (obr. 6.9). Zkušenější pozorovatel odhalí i paraboly v rovinách y = mx (obr. 6.10). Viz také obrázek 5.2.
Figure 6.8: Příklad 3 – hyperboly
Poznámka: Speciální případ pro a⊥α jsme jako snadný problém vyřešili v úloze 7.
Figure 6.11: Příklad 4
Řešení: Ke každé rovině β rovnoběžné s rovinou α sestrojíme rotační válcovou plochu s osou a, jejíž poloměr je roven vzdálenosti rovnoběžných rovin α, β (model a_alf1). Body řezu válcové plochy rovinou β mají požadovanou vlastnost a žádný jiný bod roviny ani této válcové plochy uvedenou vlastnost nemá. Všechny takové řezy jsou navzájem podobné elipsy (jsou to rovnoběžné řezy souosých rotačních válcových ploch). Hlavní osy elips leží v rovině ω vedené přímkou a kolmo k rovině α. Jejich vrcholy jsou body, které mají od roviny α a přímky a konstantní poměr vzdáleností, vyplní tedy v této rovině dvojici přímek. Elipsy tedy leží na kosé kuželové ploše.
Další možností, jak najít nějaký bod požadované vlastnosti, je hledat jej v rovinách kolmých k dané přímce. Každá kulová plocha κ se středem v průsečíku A přímky a s rovinou α protíná rovinu α v kružnici k a přímku a ve dvou bodech (v modelu a_alf2 je vyznačen jen jeden z nich). Tečná rovina plochy κ v těchto bodech protíná rotační válcovou plochu opsanou kulové ploše κ v bodech stejně vzdálených od přímky a jako od roviny α (tečny vedené z bodu ke kulové ploše jsou stejně dlouhé). Z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků (v modelu a_alf3 a obrázku 6.11) navíc plyne, že má-li požadovanou vlastnost nějaký bod X, má ji i každý bod přímky AX. Hledanou množinou je kosá (tj. nerotační) kuželová plocha (model a_alf4, obrázek 6.12).
Figure 6.13: Úloha 5
Zajímavé množiny bodů v prostoru dostaneme, pokud budeme hledat středy kulových ploch dotýkajících se dané roviny a kulové plochy nebo dvou daných kulových ploch. Jde o zobecnění rovinné úlohy v rovinách procházejících spojnicí středů daných ploch. Množiny bodů v rovině – středů kružnic dotýkajících se dvou kružnic daných – jsou kuželosečky. Zájemce odkazujeme například na publikaci [12]. Obrázek 6.15 ilustrující rovinný problém nám pomůže – jako řez rovinou procházející spojnicí středů ploch – i pro ilustraci našeho problému. Prostorové množiny vznikají rotací kuželosečky kolem spojnice středů daných kulových ploch. Jsou to tzv. rotační kvadriky. Uvedené tvrzení si odvodíme.
Figure 6.15: Rovinný problém – množiny středů kružnic dotýkajících se dvou kružnic
Středy daných kulových ploch označme S1, S2, jejich poloměry r1, r2, střed hledané plochy X a její poloměr ρ. Podle typu dotyku platí pro bod X, který je vně obou ploch buď
| ⎪ ⎪ | S1X | ⎪ ⎪ | − r1 = ρ = | ⎪ ⎪ | S2X | ⎪ ⎪ | − r2 nebo | ⎪ ⎪ | S1X | ⎪ ⎪ | + r1 = ρ = | ⎪ ⎪ | S2X | ⎪ ⎪ | + r2 |
pro dotyk výsledné plochy stejného druhu (tedy: s oběma danými plochami má vnější dotyk nebo má s oběma vnitřní dotyk), odkud
| ⎪ ⎪ | S1X | ⎪ ⎪ | − | ⎪ ⎪ | S2X | ⎪ ⎪ | = ± | ⎛ ⎝ | r1 − r2 | ⎞ ⎠ |
a pro dotyk různého druhu (s jednou plochou vnitřní a se druhou vnější)
| ⎪ ⎪ | S1X | ⎪ ⎪ | − r1 = ρ = | ⎪ ⎪ | S2X | ⎪ ⎪ | + r2 nebo | ⎪ ⎪ | S1X | ⎪ ⎪ | + r1 = ρ = | ⎪ ⎪ | S2X | ⎪ ⎪ | − r2 |
odkud
| ± | ⎛ ⎝ | ⎪ ⎪ | S1X | ⎪ ⎪ | − | ⎪ ⎪ | S2X | ⎪ ⎪ | ⎞ ⎠ | = r1 + r2 , |
tedy z obou podmínek
| ⎪ ⎪ | ⎪ ⎪ | S1X | ⎪ ⎪ | − | ⎪ ⎪ | S2X | ⎪ ⎪ | ⎪ ⎪ | = | ⎪ ⎪ | r1 ± r2 | ⎪ ⎪ | . |
Pokud ale střed X leží uvnitř jedné a nebo obou kulových ploch, můžeme místo jednoho či obou těchto vztahů dostat některou z dalších podmínek
| ⎪ ⎪ | S1X | ⎪ ⎪ | + | ⎪ ⎪ | S2X | ⎪ ⎪ | = | ⎪ ⎪ | r1 ± r2 | ⎪ ⎪ | . |
První dvojice odvozených vztahů představuje dvojici rotačních hyperboloidů, v druhém případě jde o dva rotační elipsoidy. Je vidět, že ohnisky všech kvadrik jsou středy daných kulových ploch, kvadriky jsou tzv. konfokální. Pro každou dvojici kulových ploch je hledaná množina středů dotýkajících se ploch tvořena dvěma ze čtyř uvedených kvadrik, z nichž jedna má hlavní osu délky součtu a druhá rozdílu poloměrů daných kulových ploch. Důkaz můžete provést pečlivým rozdělením na různé možnosti vzájemné polohy daných ploch. Ilustraci rovinné analogie vidíte v modelech kkuniv.ggb (byl vytvořen v programu GeoGebra) nebo kkuniv.fig (z programu Cabri Plus).
Pokud budeme hledat kulové plochy dotýkající se dané roviny α a dané kulové plochy κ, uvědomíme si, že vzdálenost bodu X od kulové plochy κ je o její poloměr větší (pro vnitřní dotyk ploch, je-li bod X – střed hledané plochy – vně dané plochy) nebo menší (pro vnější dotyk) než vzdálenost od středu S plochy κ. O tuto vzdálenost posuneme v kolmém směru (na obě strany) danou rovinu α a hledáme množinu všech bodů v prostoru, které jsou stejně vzdáleny od některé posunuté roviny α′, α″ a daného bodu – středu S plochy κ.
V každé rovině procházející kolmicí k spuštěnou z bodu X na rovinu α je hledanou množinou parabola (dvojice parabol) s osou k, s ohniskem S a řídící přímkou v rovině α′ (α″). Její rotací kolem osy k vznikne rotační paraboloid. Výsledná množina je v obecném případě dvojice souosých rotačních paraboloidů. Pokud se plocha κ roviny α dotýká, je výsledkem jediný paraboloid a přímka k (bez bodu dotyku) – viz úloha 10.
Jak jsme již uvedli, zmíněný problém má ve speciálních polohách daných ploch jednodušší řešení. Některé zvláštní případy použijeme dále v příkladech. Předtím uvádíme jednoduché zvláštní případy k samostatnému rozmyšlení.
Úloha 11 (množina středů kulových ploch dotýkajících se rovnoběžných rovin)
Řešení: Středy hledaných kulových ploch leží v rovině souměrnosti daných rovin a jejich poloměr r je roven polovině vzdálenosti daných rovin. Proto leží hledané středy navíc na rotační válcové ploše, s osou v dané přímce p a poloměrem řídící kružnice r. Výslednou množinou je průnik rotační válcové plochy rovinou souměrnosti rovin α, β – dvojice rovnoběžek (navíc rovnoběžných s danými rovinami – obr. 6.17), elipsa (obr. 6.16) či kružnice nebo prázdná množina (pro p ∥ α vně pásu určeného rovinami).
Figure 6.16: Příklad 11
Řešení: I.
Z výše uvedených úvah a Úlohy 10 vyplývá, že hledaná množina je průsečnicí dvou rotačních paraboloidů s rovnoběžnými osami. Stejnou množinu musíme dostat také jako průnik rotačního paraboloidu a rotačního hyperboloidu. Výslednou množinu můžeme nejprve zkoumat v dynamickém modelu kkrkap0 (je snadné sestrojit střed jedné takové kulové plochy – model kkrkap1, kkrkap2, pokud dynamicky zadáme její poloměr a pak sledovat pohyb sestrojeného středu pomocí nástroje stopa v modelu kkrkap3, postup ukazuje obrázek 6.18).
Figure 6.18: Příklad 11 – konstrukce jedné kulové plochy daného poloměru
Množina středů připomíná elipsu (obr. 6.19). Může to ovšem být křivka 4. stupně, takže bychom měli svou domněnku dokázat. To, že průnik dvou paraboloidů s rovnoběžnými osami – pokud existuje – je rovinná křivka, můžeme dokázat buď pro středoškoláka ne snadným výpočtem a nebo podle vět o kolmém průmětu rovinného řezu. Platí totiž (větu znají ti, kdo studují deskriptivní geometrii), že průmětem eliptického řezu paraboloidu do roviny kolmé k jeho ose je kružnice. Sestrojme paraboly ve společné osové rovině obou paraboloidů. Poté sestrojme řezy obou paraboloidů rovinou ω kolmou k osové rovině a procházející spojnicí p společných bodů A, B obou parabol v osové rovině. To jsou elipsy se společnou hlavní osou v přímce p. Hlavní osy se kolmo promítají do roviny α do průměrů kružnic – průmětů těchto elips. Ale hlavní osa obou elips je společná, tudíž tento průmět je společný průměr obou kružnic, jde tedy o jedinou kružnici k, a ta je průmětem jediné elipsy řezu ploch rovinou ω. Rovina ω tedy protíná oba paraboloidy v téže elipse.
Zároveň vidíme, že množinou dotykových bodů výsledných kulových ploch s rovinou α je právě kružnice k. To, že jsou kružnicemi i množiny dotykových bodů na daných dvou kulových plochách, ještě zřejmé není a vyplyne to například z vlastností stereografické projekce. Bod dotyku dvou kulových ploch je středem stejnolehlosti, která je zobrazuje jednu v druhou a tečnou rovinu jedné z nich v rovnoběžnou tečnou rovinu druhé. Spojnice bodů dotyku těchto tečných rovin prochází středem zmíněné stejnolehlosti. Proto jsou hledané množiny stereografickými průměty kružnice bodů dotyku v rovině α. Všechny modely jsou ve složce tecnakp, jedna výsledná kulová plocha na obrázku 6.20.
Figure 6.19: Příklad 11 – množina (elipsa) středů ploch
Uvedené řešení využilo mnoha geometrických vztahů, často i takových, které sice nepřesahují rámec středoškolských znalostí, ale nejsou součástí běžného učiva. Je sice možná poučné, ale velice zdlouhavé. Příklad 12 lze ovšem velmi elegantně řešit pomocí kulové inverze. Ani kulová inverze sice nepatří do povinné ani doporučené náplně kurzu geometrie, nadaní žáci se však v planimetrii seznamují s kruhovou inverzí a tak jim inverze kulová nebude nesrozumitelná. Tím spíše, že z ní využijeme jen opravdu základní vlastnosti. Připomeňme jen, že kulová plocha procházející středem inverze se v ní zobrazí do roviny (a to do roviny kolmé ke spojnici středu plochy se středem plochy inverze). Pokud zvolíme střed kulové plochy inverze v bodě dotyku dvou kulových ploch, zobrazí se tyto plochy do dvojice rovnoběžných rovin. Dále platí, že kulová inverze zachovává dotyk ploch. Víc k řešení naší úlohy nepotřebujeme.
Řešení: II.
Druhý postup řešení je ilustrován ve druhé sadě modelů ve složce tecnakpinv, model 2plrov0 obsahuje zadání. Zvolíme nějakou kulovou inverzi se středem v bodě dotyku kulových ploch κ, λ (model 2plrov1, 2plrov2). V ní se obě plochy zobrazí do rovnoběžných rovin κ ′, λ ′ a rovina α do kulové plochy α ′ vepsané do vzniklého pásu.
Nyní sestrojíme všechny kulové plochy dotýkající obrazů daných ploch – tedy dvou rovnoběžných rovin a plochy vepsané pásu. Všechny mají stejný poloměr a dotýkají se rovin κ ′, λ ′ a kulové plochy α ′ podél kružnic (model 2plrov3, obr. 6.22, 6.23).
Část úlohy je vyřešena. Získané kružnice zobrazíme v téže inverzi zpět na dané plochy. Všechny se zobrazí do kružnic (model 2plrovf, obr. 6.24). Zbývá nám najít množinu středů dotykových kulových ploch. Kulová plocha dotýkající se obrazů se sice zobrazí do kulové plochy dotýkající se ploch daných, ale její střed se nezobrazí do středu obrazu. Množinu středů musíme sestrojit jiným postupem (model ilustr), například rovinnou konstrukcí v rovině určené střednou jedné dvojice daných ploch a dalším bodem – zvoleným bodem dotyku na jedné z nalezených dotykových kružnic. Podívejte se na výsledné řešení v modelech 2plrovv, 2plrovy a na obrázku 6.25.
Figure 6.26: Úloha 13 zadání s plochou inverze
Poznámka 1: Po zkušenosti se zdlouhavým řešením Úlohy 12 zvolte rovnou řešení kulovou inverzí. Modely jsou ve složce tecnakp3.
Poznámka 2: Pokud znáte pojem kolmé kulové plochy, zvolte základní plochu inverze kolmou k dané kulové ploše, která neprochází středem inverze. V dané inverzi zůstane samodružná.
Poznámka 3: Uvedená kulová plocha je sice samodružná, ale na ní sestrojená kružnice – množina bodů dotyku – nikoliv!
Poznámka 4: V principu nejde o novou úlohu, protože vždy existuje kulová inverze, která převádí konfiguraci úloh 12 a 13 jednu do druhé.
Poznámka 5: Mezi tečné kulové plochy se může zařadit i společná dotyková rovina.
Poznámka 6: Množina hledaných středů je rovněž kuželosečka. Platí totiž zajímavá věta (viz [27]):
Věta: Průnik rotačních kvadrik, které mají společné ohnisko, se rozpadá na dvojici kuželoseček.
Toto tvrzení má překvapivě snadný důkaz, který je podrobně popsán v [27].
Připomeňme si, že každá kuželosečka je definovaná mimo jiné jako množina bodů, které mají od daného bodu – ohniska a od dané přímky – řídící přímky pevný poměr vzdáleností. Rotační kvadrika v prostoru je tudíž množina bodů, které mají od daného bodu – ohniska a od dané řídící roviny pevný poměr vzdáleností. Průnik dvou kvadrik se společným ohniskem F a řídícími rovinami α, β je množina bodů X, pro které platí
| = k1 ∧ |
| = k2 , kde k1, k2∈ R, k1, k2>0 , |
odtud
|
| = |
| = |
| . |
Víme (například i z Úlohy 2), že množina všech bodů prostoru, které mají od dvou daných rovin konstantní poměr vzdáleností, je dvojice rovin. Daný průnik rotačních kvadrik je tedy složen z rovinných křivek, a to řezů daných kvadrik zmíněnými rovinami.
Doplnění: Úlohy 12 a 13 řešte pro případ, kdy mají dané kulové plochy stejné poloměry.
Úloha 14 je další ze třídy úloh, které bychom mohli charakterizovat jako Apolloniovy úlohy s chybějícím jedním daným prvkem. Řešením těchto úloh je vždy nějaký parametrický systém kulových ploch (několik systémů). Mezi tyto úlohy patří také příklad 12 a úloha 13 a jak ukazuje výše uvedená Věta, je množina středů takových kulových ploch složena z kuželoseček (a/nebo přímek).
Úlohy, které zde nazýváme podle jejich rovinné analogie (viz např. [23] nebo [12]), žádají sestrojit všechny kulové plochy dotýkající se daných čtyř objektů – bodů (jimiž procházejí), rovin či kulových ploch. Stejně jako mezi rovinnými Apolloniovými úlohami, i zde jsou úlohy snadné, ale také velmi obtížné, myšlenkovým postupem i svou členitostí. Nejprve uvedeme jejich stručný přehled s uvedením maximálního možného konečného počtu řešení s poznámkou o metodě vedoucí k řešení dané úlohy. Potom některé z nich okomentujeme podrobněji a některé z nich vyřešíme nebo najdeme alespoň jedno řešení. Řešení mnohých z nich ztroskotá ne na obtížnosti, ale na přílišné členitosti scény, která v systému dynamické geometrie nedovolí pro svou nepřehlednost postup efektivně dokončit.
V tabulce přehledu (Tabulka 6.1) uvádíme buď ten způsob konstrukce, který je konstrukčně nejsnazší nebo ten, který vyžaduje nejméně nových poznatků. Neužíváme řešení pomocí nových množin bodů (rotační kvadriky), protože nemáme efektivní nástroj k jejich modelování a využití k další konstrukcím. Některé úlohy je možno řešit více způsoby.
K jednodušším úlohám přikládáme modely, jiné – například ty, které je možné řešit pomocí kulové inverze převedením na jednodušší konfiguraci – nejsou bez nástroje, který by pracoval s vrstvami, reálně sestrojitelné. Pokud takový nástroj bude k dispozici, ponecháme v původní vrstvě zadání a odvozené konstrukční prvky přesuneme do jiné vrstvy. Novou úlohu pak řešíme v samostatné vrstvě a její řešení opět přeneseme dále. Poté úlohu dokončíme.
V dalším textu budeme – podobně, jako je tomu u jednotlivých Apolloniových úloh v rovině – dotyk s kulovou plochou označovat řeckým písmenem κ, dotyk s rovinou řeckým písmenem α a incidenci s bodem ve shodě s obvyklým značením písmenem B. Příklad: úloha B α κ κ představuje úlohu Sestrojte všechny kulové plochy, které procházejí daným bodem a dotýkají se dané roviny a dvou daných kulových ploch.
Maximální Úloha Konstrukce počet řešení BBBB přímo – roviny souměrnosti 1 BBBα mocnost bodu ke kružnici a kulové ploše 2 BBBκ mocnost bodu ke kružnici a kulové ploše 2 BBαα stejnolehlost, symetrie 2
BBακ BBκκ
kulová inverze se středem v jednom z bodů vede na kons- trukci společné tečné roviny dvou kulových ploch bodem
4 4 B α α α stejnolehlost 2
Bαακ Bακκ Bκκκ
kulová inverze se středem v daném bodě vede na konstrukci společné tečné roviny tří kulových ploch
4 8 8 α α α α roviny souměrnosti 8 α α α κ stejnolehlost nebo dilatace a stejnolehlost 16
αακκ ακκκ κκκκ
kulovou inverzí převedeme úlohu na úlohu se speciální polohou zadaných ploch podle toho, zda se dané kulové plochy (ne)dotýkají či (ne)protínají
16 16 16
Table 6.1: Přehled Apolloniových 3D úloh
Uveďme seznam úloh, které jsou pro svou jednoduchost řešitelné v dostupném systému dynamické geometrie. Již dříve jsme řešili úlohy B B B B a α α α α (úlohy 5, 6) a speciální polohu úlohy B α α κ 12, 13. Dále jsme v části 4.3 řešili tzv. Pappovy úlohy. V další části najdete speciální případ, úlohu 4 – konstrukci společné tečné roviny tří daných kulových ploch.
U každé úlohy si zkuste představit její speciální konfigurace, v nichž má méně řešení, je snadná…Důslednou diskusi počtu řešení úloh pro jejich obecné zadání neprovádíme, její detailní provedení bude většinou nad naše síly. Jen zdůrazníme, že mezi řešeními získanými uvedenými postupy mohou být i kulové plochy nekonečného poloměru – tedy roviny.
Řešení: Úlohu vyřešíme pomocí mocnosti bodu ke kulové ploše a vlastnosti chordálové roviny (model ABCkappa, obr. 6.29).
Označíme-li danou plochu κ a hledanou plochu λ, pak mají κ, λ chordálovou rovinu ve společné tečné rovině. Podobně jako konstruujeme neznámou chordálu dvou kružnic v rovině pomocí třetí kružnice, která je obě protíná a umožní sestrojit potenční střed trojice, sestrojíme zde pomocí vhodné pomocné kulové plochy ω přímku t, která leží v neznámé společné tečné rovině. Touto přímkou pak povedeme (dvě) tečné roviny k dané kulové ploše κ.
Zbývá určit nějakou vhodnou plochu ω. To je taková plocha, která prochází trojicí daných bodů, které označíme A, B, C. Rovina vedená společnou kružnicí k≡(ABC) plochy ω a hledané plochy λ je jejich chordálovou rovinou a průsečnice κ a ω určuje chordálovou rovinu ploch κ a ω. Ze všech takových kulových ploch ω zvolíme takovou, která vhodně protíná danou plochu κ. Průsečnice chordálových rovin je přímka t.
Tím je úloha vyřešena, protože bod dotyku tečné roviny s danou kulovou plochou κ je čtvrtým určujícím bodem hledané kulové plochy λ.
Úloha má obecně dvě řešení. Speciální polohy zadaných útvarů mohou vést k žádnému, jednomu či nekonečně mnoha řešením.
Poznámka 1: Klíčem k řešení úlohy je najít bod P v dané rovině α, z něhož lze vést ke všem kulovým plochám procházejícím třemi danými body stejně dlouhé tečny. Zmíněné kulové plochy mají středy na ose kružnice určené danými body, které označíme A, B, C (osou kružnice zde myslíme přímku vedenou středem kružnice kolmo k její rovině). Na přímce, která je jejím kolmým průmětem do roviny α, leží hledaný bod dotyku hledané kulové plochy s rovinou α a také zmíněný bod P. Ten navíc leží v rovině kružnice ABC.
Poznámka 2: V modelu ABCalf je postupné řešení, v modelu ABCalf1 výsledek.
Poznámka 1: Středy hledaných ploch leží jednak v rovinách souměrnosti dané dvojice rovin, jednak v rovině souměrnosti dvojice daných bodů. Na každé ze získaných přímek najdeme střed výsledné kulové plochy pomocí prostorové stejnolehlosti.
Poznámka 2: V modelu ABalfbet je postupné řešení, v modelu ABalfbe1 a na obrázku 6.30 výsledek.
Poznámka: V obecném případě, kdy jsou tři dané roviny navzájem různoběžné s navzájem různoběžnými průsečnicemi, tvoří trojbokou jehlanovou plochu a rozdělují prostor na osm oktantů. Řešení má smysl hledat v tom oktantu, v jehož vnitřku či na hranici leží daný bod. Středy hledaných ploch leží v rovinách souměrnosti každé dvojice rovin. Každé tři z nich se protínají ve společné přímce. Na ní najdeme střed výsledné kulové plochy opět stejnolehlostí (model Aabc).
Poznámka 1: Kromě dále uvedeného řešení pomocí stejnolehlosti můžeme ještě dilatací (dilatacemi) převést zadání na předchozí úlohu. Je to velmi pracné a zdlouhavé řešení. Přiložený model Kabc je jen ilustrační, není úplný a při změně konfigurace může řešení zmizet.
Poznámka 2: Úloha má obecně až 16 řešení, jak je vidět v modelu ctyriz16 a na obrázku 6.32, kde jsou (při velmi speciální poloze daných rovin a kulové plochy) sestrojeny pouze dvě z osmi dvojic řešení.
Poznámka 3: Úlohu budeme řešit pro obecný případ, v němž jsou průsečnice daných rovin navzájem různoběžné.
Řešení: Přímé řešení pomocí stejnolehlosti vychází z podobného rovinného řešení Apolloniovy úlohy ppk, v níž jsou dány dvě přímky a kružnice. Vyjdeme z toho, že množina středů všech kulových ploch dotýkajících se dané trojice různoběžných rovin s různoběžnými průsečnicemi je čtveřice přímek o – o1, o2, o3, o4 (lépe: osm polopřímek bez společného krajního bodu P) – průsečnic příslušných rovin symetrie pro dané dvojice rovin. Roviny označíme α, β, γ . V oktantech, do nichž zasahuje daná kulová plocha, budou na těchto přímkách ležet středy hledaných kulových ploch.
Zadaná kulová plocha κ a hledaná plocha φ se dotýkají ve středu stejnolehlosti, která zobrazuje navzájem jednu do druhé jednak κ a φ, jednak tečnou rovinu dané plochy κ a s ní rovnoběžnou tečnou rovinu hledané kulové plochy φ. Střed stejnolehlosti (ten, který je bodem dotyku) ploch κ a φ můžeme najít pomocí tečných rovin plochy φ rovnoběžných s rovinami danými (ke každé rovině α, β, γ dostáváme dvě takové roviny). Protože jde o dvě trojice navzájem rovnoběžných rovin, jsou rovnoběžné i průsečnice jejich rovin souměrnosti. V každém oktantu tedy určíme stejnolehlost, která zobrazuje přímku o do s ní rovnoběžné přímky o′ procházející středem dané plochy κ a jednu danou rovinu do roviny s ní rovnoběžné. Máme tedy dvojici odpovídajících si bodů P, P′. Takové stejnolehlosti najdeme dvě, proto i dvojice odpovídajících si bodů P, P′ jsou dvě. Postup můžeme sledovat v modelu Kabchom0. Body dotyku kulových ploch proto leží na průsečnici dané kulové plochy κ s přímkou PP′ (v modelu Kabchom1 jsou sestrojeny dvě dvojice středů, v modelu Kabchom2 druhé dvě). Dvě z výsledných ploch, které odpovídají modelu Kabchom1 a dotýkají se dané plochy κ vně vidíte v modelu Kabchom3, další dvě v modelu Kabchom4. (Uvedené modely jsou dílčí, pokud nevhodně změníte polohu kulové plochy κ či rovin, nemusí se v modelu hledaná kulová plocha objevit.)
Řešení dalších Apolloniových úloh můžeme kulovou inverzí převést na nějakou jednodušší úlohu nebo na snazší případ se speciální vzájemnou polohou daných ploch. K řešení potřebujeme pomocné kroky, které uvádíme dále jako samostatné úlohy.
Poznámka: Úloha je přímou analogií rovinné úlohy o kružnicích. Prostorová konstrukce v systému, který nemá možnost pracovat s vrstvami, je však komplikovaná a pracná, navíc výsledek v modelu není příliš přehledný. Kvůli nesnadné manipulaci jsme připravili výsledné modely i s ukázkou třetí, tečné koule k oběma daným. (modely kaplam0, kaplam1, kaplam2, kaplam3)
Poznámka 1: Zformulujte obecnější tvrzení týkající se vrcholů všech kuželových ploch opsaných dvojicím daných kulových ploch. (obr. 6.33)
Poznámka 2: (návodná) Zformulujte obecnější tvrzení týkající se vzájemné polohy všech středů všech stejnolehlostí – každé dvojice ze tří daných kulových ploch (model KLMrov1).
Poznámka 3: (přímá nápověda) Připomeňte si větu Menelaovu.
Řešení: Společné tečné roviny dvojice daných kulových ploch jsou tečné roviny některé jejich společné opsané rotační kuželové (nebo válcové) plochy. Její osou je středná daných ploch a vrcholem jeden ze středů dvou stejnolehlostí daných ploch (pokud leží vně obou ploch). Leží-li daný bod vně kuželové plochy, umíme z něj vést ke kuželové ploše tečné roviny. Stačí sestrojit tečny rovnoběžkové kružnice plochy v rovině vedené daným bodem kolmo k ose kuželové plochy. (modely KLBtec0, KLBtec1 – dotýkající se kulové plochy, KLB2k0, KLB2k1, KLB2k2)
Řešení: V úloze 1 jsme zjistili, že některé trojice středů stejnolehlostí dvojic kulových ploch leží v přímce. Takovou přímkou vedeme tečnou rovinu k některé kulové ploše (nejsnáze asi tak, že pomocí rovinné konstrukce v rovině procházející středem plochy kolmo na zmíněnou přímku sestrojíme jednu další přímku tečné roviny). Sestrojená tečná rovina je tečná i k oběma zbývajícím kulovým plochám. (modely KLMrov0, KLMrov1)
Úloha může mít až čtyři dvojice řešení, v modelu KLMrov2 a na obrázku 6.34 je sestrojena pouze jedna dvojice. Nemusí však mít řešení žádné. Představte si dvě kulové plochy, jim opsané kuželové plochy a třetí kulovou plochu s malým poloměrem uvnitř obou opsaných kuželových ploch.
Figure 6.33: Úloha 1
Poznámka: Jsou-li dané přímky mimoběžné, vidíte konstrukci v modelu dvepB1. Pokud jsou dané přímky různoběžné, musí být úseky od jejich průsečíku k daným bodům dotyku stejně dlouhé a v tom případě není úloha dourčena (kulovou plochu určíme např. ještě dalším bodem) – viz model dvepB2. Podobně pro přímky rovnoběžné.
Poznámka 1: Úloha je analogií úlohy z [29].
Poznámka 2: Model ctyrik pouze ilustruje problém, není návodem k řešení.
Poznámka: Návod: Kružnice leží na soustředných kulových plochách, které mají střed ve středu krychle. Hledaná vzdálenost je tedy rozdíl poloměrů.
Poznámka: Úlohy 3 a 4 jsou převzaty z [29].
Poznámka: Hledáme společný vrchol pravých úhlů nad KL, LM a KM (model krych1) a bodem N vedeme rovinu rovnoběžnou s některou získanou rovinou stěny. Pro každou z nich má úloha 4 řešení. Modely krych43, krych44. Diskuse – viz model krych42.
