Příprava písemných prací a testů je samozřejmou součástí práce učitele, a to součástí časově velmi náročnou. Přitom mnozí učitelé dávají přednost tvorbě vlastních zadání před přejímáním zadání připravených jinými kolegy, alespoň pro procvičování konkrétních znalostí a dovedností. Chtějí ověřit či procvičit konkrétní schopnost či znalost a zdrojový materiál chtějí tomuto cíli ušít na míru. Jsme přesvědčeni, že modely, které umožňují přípravu a tisk takových zadání, které jsou navíc snadno modifikovatelné a dovolují jedním kliknutím vytvořit novou variantu původního testu či pozměnit charakter úlohy v testu, usnadní učiteli jeho přípravu a ušetří mu spoustu času. Tím více, pokud model zároveň ukáže/vygeneruje správné řešení úloh. Obecně zadaný problém a algoritmus pro jeho řešení je jedna věc, úloha vhodná do písemné práce či testu je problém zcela jiný. Potřebujeme zadání, které bude rozumně řešitelné na daném pracovním listu, které bude hezky vycházet, a navíc často potřebujeme několik stejně obtížných variant jednoho testu.
Předvedeme zde postup pro tvorbu takového modelu a hlavně předložíme několik modelů s připravenými testy, které splňují výše uvedené podmínky. Tyto modely už jsou určeny k přímému generování variantních sad úloh při minimální námaze učitele.
Text uvedený v této kapitole je výrazně ovlivněn volbou použitého systému dynamické geometrie. Obslužné nástroje, které umožňují tiskové výstupy z modelu, tvorbu obrázků a jejich podporované formáty a podporu vkládání a tisku doplňujících textových informací, řeší každý systém odlišně. Pokud jsme se až dosud co nejvíce vyhýbali odkazům na konkrétní nástroje a způsob jejich volání (byť jsme v tom nemohli být důslední), bylo tomu tak s cílem rozšířit použitelnost celého textu i pro ty, kdo chtějí používat jiný systém než námi zvolený systém Cabri 3D. V této části se však popisu funkce konkrétních nástrojů nevyhneme.
Cabri 3D má prostředí modelu rozdělené na stránky. Ve standardním modelu je připravena jedna stránka s předdefinovaným pohledem (se zvolenou promítací metodou). Do této stránky běžně přidáváme textová pole, kam můžeme vložit text komentáře či zadání. Možností, jak konfigurovat vzhled modelu, je však více. Systém umožňuje:
Nyní vytvoříme konkrétní testovou šablonu. Na modelu mettest si ukážeme tvorbu jednoho takového modelu, který bude následně bezpracně generovat zadání testu pro skupiny A a B a jeho správné řešení. Model je jednoduchý, obsahuje jedinou úlohu, ale ukážeme na něm metodiku a možnosti tvorby testové šablony. Postup uvedeme jako posloupnost komentovaných kroků.
Nyní máme vytvořený model řezu krychle rovinou včetně jeho správného řešení. Zbývá už jen vytvořit v připraveném dokumentu testové prostředí (pracovní list).
Uvedená ukázka nemusí učiteli metodicky vyhovovat. Chtěli jsme na ní ale demonstrovat možnost, jak vytvořit dvě na pohled odlišné a přitom obtížností zcela ekvivalentní varianty úlohy včetně tisku správného řešení. Pro reálné použití a při přímém tisku potřebného počtu kopií zadání bychom nejspíše umístili pohledy obsahující řešení na další stránku dokumentu a tu vytiskli samostatně a pouze jednou.
Rozumné je mít v jednom modelu dvě (čtyři, šest, ...) různé krychle (vhodně rozmístěné v modelu) a modelovat dvě různé úlohy, srovnatelnou obtížnost ale musí posoudit učitel. Různé varianty pak mohou být na samostatných stranách, pro tisk je to výhodnější, pro porovnání obtížnosti horší. Další možnost je mít jednu testovou šablonu a z ní pro potřeby testu vytvořit dvě nebo více variant.
Pokud chceme modelovat zadání přesně podle obrázků v učebnici, tedy v tzv. volném rovnoběžném promítání, můžeme tuto promítací metodu zvolit hned na počátku tvorby šablony, ale stejně tak i později, ve fázi přípravy testu – viz model mettestk. Změna je jen v kroku 9, kdy nevložíme z příslušného menu pohled libovolný, ale kosoúhlé promítání se zkrácením 1/2.
Chceme zde ale připomenout, že právě díky možnosti snadno generovat materiály pro tisk, v nichž jsou modely zobrazeny v různých promítáních, můžeme opustit omezení zobrazování na volné rovnoběžné promítání a lépe prozkoumávat scénu jejím otáčením. Pro tisk zadání, v nichž mají žáci využívat vlastností rovnoběžnosti přímek a rovin však musíme volit nějaké rovnoběžné promítání a ne středové průměty se středem v konečné vzdálenosti, protože středové promítání rovnoběžnost nezachovává. Chceme-li scénu pouze prozkoumávat, je naopak perspektivní pohled přirozenější.
Model máme připravený, patřičnou stránku z něj umíme vytisknout. Příště však nejspíš budeme chtít trochu pozměnit zadání. Nebo máme jedinou sadu úloh a chceme generovat varianty testu pro různé skupiny žáků. První modifikace, která je v systému dynamické geometrie samozřejmá, spočívá ve změně zadání povolenou změnou polohy určujících prvků scény. V případě našeho cvičného modelu můžeme změnit velikost krychle nebo krychli pootočit – což nejsou nejspíš příliš zásadní a užitečné změny.
Dále můžeme pohybovat body K, L, M po hranách krychle, na něž jsme je umístili. To je podstatnější změna, protože tak můžeme generovat tvarově odlišné řezy a přitom neměníme obtížnost úlohy (v našem případě máme jednu hranu řezu v horní stěně krychle (pokud jsme ji neotočili) a bod na další hraně krychle, který je nesousedním vrcholem řezu k vrcholům K, L (pokud jsme body K, L nepřesunuli až do krajní polohy – do vrcholů krychle). Pohled na řešení ihned ukazuje, je-li konstrukce řešení pro žáky přiměřeně přehledná a tak nás varuje před didakticky nevhodnou volbou. Všimněme si toho, že můžeme manipulovat pouze s body v zadání, nikoliv v posunuté krychli – tam jsou body K, L, M už pouze obrazy dříve definovaných bodů ve zvoleném posunutí. Zadanými body K, L, M však můžeme samozřejmě pohybovat ve kterémkoliv pohledu – tedy i v tom, který je připravený k tisku. To se hodí zejména tehdy, když chceme vidět, zda se ve výsledném tištěném obrázku objekty nevhodně nezakrývají.
Zásadnější změna zadání je taková změna, která vyžaduje odlišný algoritmus řešení úlohy. Typický nejobtížnější případ, který se ještě ve škole většinou obvykle řeší, je konfigurace, v níž leží body K, L, M na mimoběžných hranách krychle či na jejich prodloužení. Taková změna polohy bodů je možná díky nástroji Předefinovat. Vytvoříme nový bod P (ale v modelu ho nepojmenujeme) a původně zadaný bod předefinujeme do nové polohy, která je určena nově vytvořeným bodem P. Bod přeskočí a veškeré z něho vyplývající následné konstrukční vazby se zachovají. Model mettest2 se zmíněnou konfigurací vznikl z dříve vytvořeného modelu mettest následujícím postupem (pracujeme s originálním modelem, je to přehlednější):
Body můžeme nově umístit také do stěn tělesa či do jiných poloh s jasně definovaným vztahem k původní krychli. Stačí doplnit do originálního modelu např. úsečku spojující nové body na hranách jedné stěny a jeden z bodů K, L, M umístit (předefinovat) do jejího bodu.
Není možné měnit základní tvar těles. Například pokus změnit pětiboký hranol na hranol čtyřboký smazáním jednoho vrcholu vede ke smazání původního pětiúhelníku, který určoval podstavu, a celá konstrukce zmizí. Pokud postavíme v originálním modelu těleso znovu, zůstanou nám připravené pohledy na zadání, ale zmizí řešení, které musíme celé vyrobit znovu, počínaje úvodním posunutím zadaných prvků do nové polohy. Jinak řečeno – vše kromě nastavení pohledů musíme sestrojit od začátku. Chceme-li uvedenou změnu s modelem provést, pomůže nehezký, ale jednoduchý trik: posuneme přebytečný vrchol podstavy tak, aby splynul s jedním ze svých sousedních vrcholů.
Jak už jsme uvedli v části věnované řezům těles, Cabri 3D nepodporuje přímou konstrukci řezů nekonvexních těles. Nic nám sice – jako autorům testové šablony – nebrání sestrojit řez pracnějším konstrukčním postupem, problémem však zůstane zobrazení stran řezu – při dynamických změnách budou některé hrany mizet a výsledná zkušenost s používáním takové pomůcky bude spíše frustrující. Efektu nadbytečné úhlopříčky uvnitř n-úhelníku řezu se bohužel nevyhneme ani jinak hezkým trikem, kdy řežeme nekonvexní těleso vzniklé slepením dvou těles konvexních. Uvedená nepříjemnost není univerzálně řešitelná a řešení spočívá v manuálním přidávání úseček do modelu – překreslování obvodu vzniklých mnohoúhelníků.
Pro přímé použití k tisku pracovních listů (testových úloh, cvičení…) jsme připravili několik testových šablon zaměřených na řezy těles rovinou. První tři šablony mají společný vzhled a ovládání:
Každý model obsahuje čtveřici samostatných modifikovatelných úloh umístěných pod sebou a k nim výsledné seříznuté mnohostěny. Výsledky jsou posunuté ven z pohledového objemu a je možné je přiblížit a přesunout až do odpovídající polohy v zadání. Ořezávané těleso je ve všech úlohách jednoho modelu nutně stejné.
Dokument obsahuje druhou stránku, která je určena k tisku a na níž jsou vedle sebe umístěné sloupce s úlohami – textové komentáře, zadání úloh a jejich řešení.
Všechny modely mají po straně sadu manipulátorů, kterou si uživatel může přiblížit přitažením označeného bodu. Ve výchozí poloze sady manipulátorů jsou snadno dostupné ovladače pro přiblížení hotového řešení a pro změnu vertikální vzdálenosti mezi připravenými tělesy.
Pokud chceme měnit v zadání polohu bodů, které určují polohu roviny řezu, postupujeme podle návodu v podkapitole 7.2 (sec:tisktestu). Modely umožňují změnu výchozího tělesa – pro všechny čtyři úlohy změníme těleso ve vnitřní šabloně, kterou si pro tento účel přiblížíme a pomocí označených ovladačů v ní provedeme změny.
Model rezjehl2 je ovládáním a určením podobný, jehlany v něm jsou však různé a uživatel může měnit polohu každého vrcholu nezávisle. Ukázka je na obrázku 7.4.
Určování skutečné délky úseček a skutečné velikosti úhlu se v Cabri 3D podporuje špatně, protože systém nemá možnost nastavení pracovní roviny. Získat vytištěný tvar trojúhelníku s vrcholy na daném tělese můžeme ne příliš elegantním trikem, pomocí sítě čtyřstěnu. Na rozvinuté síti pak vybereme správný trojúhelník. Model není příliš užitečný, ale dovoluje alespoň vytisknout zadání a k němu správné řešení.
Mezi modely, které nám dovolí automaticky generovat a tisknout zadání stereometrických úloh, patří i modely uvedené v Kapitole 8 chap:predstavivost v části 8.2 a v části 8.3.4. Jsou to zadání kvízových úloh, s jakými se setkáváme v knížkách rébusů a hádanek a úloh vhodných do testů prostorové představivosti. Ve škole je můžeme použít jako rozcvičky prostorového vidění na začátku hodin stereometrie.
Hezkou a velice praktickou pomůckou jsou modely sítí mnohostěnů, které umí systém Cabri 3D přímo generovat. Poznamenejme jen, že se opět jedná pouze o sítě konvexních mnohostěnů. O principu tvorby jsme se zmínili již v části 3.3.5. Zde uvedeme poznámku o jejich využití v hodině. Základním modelem byl model seříznutého hranolu rez2. K tomuto tělesu jsme sestrojili jeho síť. První síť jsme sestrojili automaticky, bez další manipulace – a k ní jsme do modelu přidali stránku se sítí. Pak jsme model tělesa1 opět zobrazili a vytvořili k jeho hranám konvexní obálku. Výslednému tělesu jsme opět rozvinuli síť a proces s konvexní obálkou zopakovali. Pokud jsme začali tvořit konvexní obálku od hran jiné stěny původního tělesa, rozevřela se jeho síť jinak.
Postupně jsme vytvořili čtyři různé sítě téhož tělesa a vytiskli je. Tisk sítě přímo ze systému byl dostatečně přesný na to, aby aktivitu umožnil.
Poté jsme mírně pozměnili původní hranol či pootočili rovinu řezu. Stabilita takového modelu není příliš velká a může se stát, že některá z vytvořených sítí zmizí a zůstane jen prázdná stránka. Je potřeba trocha trpělivosti a dostaneme velice podobnou čtveřici sítí, ale pro jiné těleso. V uvedené sadě jsou připravené čtyři modely se sítěmi.2 V modelech rez2a (obr. 7.5) a rez2b jsou různé sítě téhož modelu různě obarvené, v modelech rez2c a rez2d3 jsme je ponechali v základní barvě.4
Každý ze 16 žáků skupiny obdržel jednu stránku se sítí a měl za úkol nejprve vyhledat spolužáky, kteří měli síť shodného tělesa a poté síť vystřihnout a složit (případně slepit pomocí pásky). Při plnění prvního úkolu se žáci naučili rozlišovat sítě shodných těles a po skončení manipulace své poznatky formulovali, ve druhé části narazili na rozdíl mezi přímou a nepřímou shodností a ujasnili si jejich charakteristickou vlastnost. Manipulace se sítěmi trvala ve 2. ročníku čtyřletého gymnázia 20 minut.
Podle našeho názoru se jedná o aktivitu vhodnou i pro mnohem mladší žáky, je možno zařadit ji jako stereometrickou rozcvičku či hříčku již od prvního ročníku nižšího stupně gymnázia (či na druhý stupeň základní školy) kdykoliv a zcela mimo kontext právě probíraného tématu. Uvádíme ji zde jako další příklad využití počítače k přípravě činnosti, která probíhá manuálně a zcela bez nároku na počítačové vybavení učebny.
Pro mladší a méně nadané žáky je možné připravit ještě jinou aktivitu. Vytvoříme a vytiskneme síť pravidelného mnohostěnu a zadáme žákům úkol, aby vybarvili n-úhelníky, které jsou na tělese protilehlými stěnami, stejnou barvou. Poté mohou model vystřihnout a přesvědčit se o správnosti své odpovědi. Model připravíme snadno, v připraveném modelu dvaceti je nejen síť pravidelného dvacetistěnu, ale i dvacetistěn s obarvenými stěnami.
